Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada. f(t)=5 \operatorname{rect}(t)
Passo 1
Enunciado e o que se pede: tenho o sinal no domínio do tempo f(t)=5\operatorname{rect}(t). O pedido é:
Escrever a transformada de Fourier desse sinal (usar uma tabela que mostre domínio do tempo e domínio da frequência).
Fazer um programa Scilab que plote tanto o sinal f(t) quanto a sua transformada de Fourier.
Informações dadas:
O sinal é f(t)=5\operatorname{rect}(t).
Não foi dada outra convenção, então devo explicitar a convenção de transformada que vou usar na resolução.
Passo 2
Escolha e explicação da convenção de transformada de Fourier que vou usar (muito importante): vou usar a convenção de engenharia mais comum (frequência em hertz), definida por
X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt,
onde [x(t)) é o sinal no tempo e X(f) é a função no domínio da frequência. Aqui f tem unidade de hertz. Esta convenção é conveniente porque a transformada de uma janela retangular simples leva a uma função sinc com argumento em f.
Também preciso fixar a definição de \operatorname{rect}(t). Adoto a definição padrão centrada com largura unitária:
\operatorname{rect}(t)= \begin{cases} 1, & |t|<\tfrac{1}{2},\\[4pt] \tfrac{1}{2}, & |t|=\tfrac{1}{2}\\ \text{(ponto de fronteira, costuma não importar)},\\[4pt] 0, & |t|>\tfrac{1}{2}. \end{cases}
Essa função vale 1 em (-\tfrac{1}{2}<t<\tfrac{1}{2}] e zero fora.]
Passo 3
Cálculo explícito da transformada: aplico a definição da transformada ao sinal f(t)=5\operatorname{rect}(t). Como \operatorname{rect}(t) é não nula apenas em -\tfrac{1}{2}\le t\le \tfrac{1}{2}, a integral reduz-se a um integral finito:
F(f)=\int_{-\infty}^{\infty} 5\operatorname{rect}(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt =5\int_{-1/2}^{1/2} e^{-j2\pi f t}\,dt.
Agora calculo essa integral elementar. A primitiva de e^{-j2\pi f t} em t é \frac{e^{-j2\pi f t}}{-j2\pi f} quando f\neq0. Assim,
F(f)=5\left[\frac{e^{-j2\pi f t}}{-j2\pi f}\right]_{t=-1/2}^{t=1/2} =5\cdot\frac{e^{-j\pi f}-e^{j\pi f}}{-j2\pi f}.
Simplifico usando a identidade e^{-j\pi f}-e^{j\pi f}=-2j\sin(\pi f):
com o entendimento de que \operatorname{sinc}(0)=1 por continuidade. Logo
F(f)=5\,\operatorname{sinc}(f).
Passo 4
Interpretação e propriedades importantes (para a prova): o resultado significa que
Multiplicar no tempo por 5 multiplica a transformada por 5 (linearidade da transformada).
A janela retangular de largura 1 no tempo gera uma função \operatorname{sinc} no domínio da frequência: largura no tempo pequena → lóbulo principal largo na frequência (princípio tempo-frequência).
A transformada é real e par (simétrica) porque \operatorname{rect}(t) é real e par.
Passo 5
Apresento a tabela pedida (coluna 1: domínio do tempo; coluna 2: domínio da frequência). A tabela abaixo resume de forma direta:
(Na tabela usei a definição de \operatorname{rect}(t) e a convenção de Fourier X(f)=\int x(t)e^{-j2\pi f t}dt.)
Passo 6
Explicação prática de como plotar no Scilab (descrição antes do código): quero plotar:
O sinal no tempo f(t)=5\operatorname{rect}(t) para t em, por exemplo, [-1,1].
A transformada analítica F(f)=5\operatorname{sinc}(f) para f em, por exemplo, [-10,10].
Vou mostrar um código Scilab que constrói um vetor de tempo t, constrói a rect como 1 dentro de |t|<1/2 e 0 fora, multiplica por 5, e então constrói um vetor de frequência ff e avalia 5*\sin(\pi f)/(\pi f) com cuidado no ponto f=0 para evitar divisão por zero.
Passo 7
Código Scilab (copie e cole no Scilab). Comentários explicativos inline (o código é auto-contido):
// Plota f(t)=5*rect(t) e sua transformada F(f)=5*sinc(f)// Escolha de resolucao
t = linspace(-1,1,1001); // vetor de tempo// definicao da rect de largura 1 centrada em zero
rect = (abs(t) < 0.5) + 0.5*(abs(t) == 0.5); // 1 no interior, 0.5 nas fronteiras (opcional)
f_t = 5 * rect; // sinal no tempo// vetor de frequencia para plotar a transformada
ff = linspace(-10,10,2001); // frequencias em Hz// definicao da funcao sinc normalizada: sinc(x) = sin(pi x)/(pi x)
sinc_ff = sin(%pi * ff) ./ (%pi * ff);
// corrigir o ponto f=0 para 1 (evitar NaN)
idx0 = find(abs(ff) < 1e-12);
if ~isempty(idx0) then
sinc_ff(idx0) = 1;
end
F_f = 5 * sinc_ff; // transformada analitica// plot do sinal no tempo
scf(0);
subplot(2,1,1);
plot(t, f_t, 'b-');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=5·rect(t)','t (s)','f(t)');
xgrid();
// plot da transformada (parte real, que aqui é real e par)
subplot(2,1,2);
plot(ff, F_f, 'r-');
xtitle('Transformada de Fourier: F(f)=5·sinc(f)','f (Hz)','F(f)');
xgrid();
Passo 8
Explicação passo a passo do código (para você repetir na prova mentalmente):
Eu gerei um vetor de tempo t com resolução razoável (aqui 1001 pontos de -1 a 1). Na prova você pode desenhar à mão a rect: vale 5 entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}, e 0 fora.
A linha que define rect usa a condição lógica abs(t) < 0.5 que resulta em 1 onde a condição for verdadeira e 0 caso contrário. Multiplicando por 5 obtemos f(t).
Para a transformada eu uso a expressão analítica F(f)=5\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}. Em código implemento essa expressão com cuidado em f=0 (defino igualmente 1 por continuidade).
Ploto o sinal no tempo e a transformada em subplots para comparar facilmente. A transformada é real, com um lóbulo central máximo em f=0 de amplitude 5 (pois \operatorname{sinc}(0)=1) e decai com os lobos laterais.
Passo 9
Dicas e observações para a prova (curtas, mas importantes):
Se na sua prova a convenção de Fourier for diferente (por exemplo usar \int x(t)e^{-j\omega t}dt com \omega em rad/s), a transformada aparecerá com fator de escala e argumento diferente: F(\omega)=5\cdot\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}. Sempre verifique a convenção pedida.
Em muitos livros \operatorname{sinc} é definida sem o \pi (sinc(x)=sin(x)/x); aqui usei a definição com \pi no argumento, que é a mais comum em processamento de sinais quando a variável é frequência em hertz.
Na prova, se pedirem apenas a transformada, basta lembrar: rect de largura 1 → sinc no eixo f. A amplitude 5 multiplica a transformada.