Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=e^{-\frac{t^{2}}{8}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever, numa tabela, a transformada de Fourier do sinal dado; (2) fornecer um programa Scilab que plote tanto o sinal quanto a sua transformada. O sinal dado é \;f(t)=e^{-\frac{t^{2}}{8}}. Não há outras informações no enunciado (por exemplo, convenção da transformada), então vou explicitar a convenção que vou usar e seguir com a resolução.

Passo 2

Definição / convenção escolhida da transformada de Fourier (importante para não confundir fatores 2\pi). Vou usar a convenção em frequência angular \omega (mais comum em sinais/controle/ física):
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
onde \;j=\sqrt{-1} (unidade imaginária) e \omega é a frequência angular (rad/s). Aqui f(t) é a função temporal e F(\omega) é sua transformada.

Passo 3

Lema/integral padrão que vamos usar (fórmula conhecida para integrais gaussianas):
seja a\in\mathbb{C} com \Re(a)>0. Então
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a t^{2}}\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
Explicação curta: essa integral é a integral gaussiana padrão; quando a>0 real, a integral converge e seu valor é \sqrt{\pi/a}. Essa fórmula será usada depois após completar o quadrado no expoente.

Passo 4

Aplicando a definição ao nosso f(t). Temos
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^{2}}{8}}\,e^{-j\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^{2}}{8}-j\omega t}\,dt.
Agora vamos manipular o expoente para colocá-lo na forma de uma gaussiana pura (completando o quadrado).

Passo 5

Completar o quadrado no expoente. Começamos com
-\frac{t^{2}}{8}-j\omega t = -\frac{1}{8}\bigl(t^{2}+8j\omega t\bigr).
Formamos o quadrado perfeito:
t^{2}+8j\omega t = \bigl(t+4j\omega\bigr)^{2} - (4j\omega)^{2}.
Calcule (4j\omega)^{2}=16 j^{2}\omega^{2}= -16\omega^{2}. Assim
t^{2}+8j\omega t = \bigl(t+4j\omega\bigr)^{2} + 16\omega^{2}.
Substituindo de volta no expoente:
-\frac{t^{2}}{8}-j\omega t = -\frac{1}{8}\bigl(t+4j\omega\bigr)^{2} - \frac{16\omega^{2}}{8} = -\frac{1}{8}\bigl(t+4j\omega\bigr)^{2} - 2\omega^{2}.

Passo 6

Separe o fator que depende de \omega fora da integral:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{8}(t+4j\omega)^{2}}\,e^{-2\omega^{2}}\,dt = e^{-2\omega^{2}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{8}(t+4j\omega)^{2}}\,dt.
Agora fazemos a mudança de variável complexa u=t+4j\omega. A linha de integração no plano complexo desloca-se verticalmente, mas como a função e^{-\frac{1}{8}u^{2}} é inteira e decai rapidamente, esse deslocamento não altera o valor da integral (argumento padrão baseado em integração de Gauss por deslocamento de contorno). Portanto a integral vale a mesma que ao integrar sobre o eixo real:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{8}(t+4j\omega)^{2}}\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{8}u^{2}}\,du.

Passo 7

Use a fórmula do Passo 3 com a=\frac{1}{8} (observe \Re(a)>0 aqui):
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{8}u^{2}}\,du = \sqrt{\frac{\pi}{1/8}}=\sqrt{8\pi}.
Portanto a integral vale \sqrt{8\pi}. Substituindo em F(\omega),
F(\omega)= e^{-2\omega^{2}}\cdot \sqrt{8\pi}.

Passo 8

Interpretação e forma final. Podemos escrever a transformada de forma compacta:
\boxed{\,F(\omega)=\sqrt{8\pi}\;e^{-2\omega^{2}}\,}
Observação sobre simetria: F(\omega) é real, positiva e até função gaussiana em \omega; como esperado, a transformada de uma gaussiana é outra gaussiana (a largura no domínio da frequência é inversamente relacionada à largura no tempo).

Passo 9

Montando a tabela pedida. Vou apresentar uma tabela simples com duas colunas: sinal e transformada (usando a convenção definida no Passo 2).
Sinal f(t) Transformada F(\omega)
\displaystyle e^{-\frac{t^{2}}{8}} \displaystyle \sqrt{8\pi}\;e^{-2\omega^{2}}

Passo 10

Programa Scilab para plotar f(t) e F(\omega). O programa abaixo plota em duas subplots: no superior o sinal no tempo, no inferior a magnitude da transformada (a transformada neste caso é real e positiva, então ploto diretamente F(\omega)). O código é comentado para você entender cada passo.
// Scilab: plot do sinal f(t)=exp(-t^2/8) e sua transformada analítica F(omega)=sqrt(8*pi)*exp(-2*omega^2)

// parâmetros de amostragem para o tempo
tmin = -10;
tmax = 10;
Nt = 1000;
t = linspace(tmin, tmax, Nt);

// sinal no tempo
f = exp(-t.^2/8);

// parâmetros para plot da transformada (frequência angular)
wmin = -5;
wmax = 5;
Nw = 1000;
w = linspace(wmin, wmax, Nw);

// transformada analítica
F = sqrt(8*%pi) * exp(-2 * w.^2);

// plot
scf(0);
clf();
// subplot 1: sinal no tempo
subplot(2,1,1);
plot(t, f, 'b');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=exp(-t^2/8)', 't', 'f(t)');
xgrid(1);

// subplot 2: transformada (magnitude)
subplot(2,1,2);
plot(w, F, 'r');
xtitle('Transformada de Fourier: F(\\omega)=\\surd(8\\pi) e^{-2 \\omega^{2}}', '\\omega (rad/s)', 'F(\\omega)');
xgrid(1);

// Melhor visualização: ajustar eixos se necessário
// e.g., axis([wmin, wmax, 0, max(F)]);

Passo 11

Dicas práticas para execução e prova:
  • Se precisar justificar a troca de caminho de integração (passo da mudança u=t+4j\omega), diga que a função integranda é inteira e decai rapidamente, permitindo deslocamento de contorno sem alterar a integral (argumento padrão em integrais gaussianas complexas).
  • Lembre-se de explicitar a convenção de transformada que você está usando em prova (fatores 2\pi aparecem se usar outra convenção).
  • Para plotagens numéricas, não use FFT direto se quiser o resultado analítico; basta avaliar F(\omega) como fiz no código. Se usar FFT, cuide das escalas e fatores 2\pi e do espaçamento de amostragem.

Resposta

Sinal f(t) Transformada F(\omega)
\displaystyle e^{-\frac{t^{2}}{8}} \displaystyle \sqrt{8\pi}\;e^{-2\omega^{2}}
Programa Scilab:
// Scilab: plot do sinal f(t)=exp(-t^2/8) e sua transformada analítica F(omega)=sqrt(8*pi)*exp(-2*omega^2)

// parâmetros de amostragem para o tempo
tmin = -10;
tmax = 10;
Nt = 1000;
t = linspace(tmin, tmax, Nt);

// sinal no tempo
f = exp(-t.^2/8);

// parâmetros para plot da transformada (frequência angular)
wmin = -5;
wmax = 5;
Nw = 1000;
w = linspace(wmin, wmax, Nw);

// transformada analítica
F = sqrt(8*%pi) * exp(-2 * w.^2);

// plot
scf(0);
clf();
// subplot 1: sinal no tempo
subplot(2,1,1);
plot(t, f, 'b');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=exp(-t^2/8)', 't', 'f(t)');
xgrid(1);

// subplot 2: transformada (magnitude)
subplot(2,1,2);
plot(w, F, 'r');
xtitle('Transformada de Fourier: F(\\omega)=\\surd(8\\pi) e^{-2 \\omega^{2}}', '\\omega (rad/s)', 'F(\\omega)');
xgrid(1);

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