Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever, numa tabela, a transformada de Fourier do sinal dado; (2) fornecer um programa Scilab que plote tanto o sinal quanto a sua transformada. O sinal dado é
. Não há outras informações no enunciado (por exemplo, convenção da transformada), então vou explicitar a convenção que vou usar e seguir com a resolução.
Passo 2
Definição / convenção escolhida da transformada de Fourier (importante para não confundir fatores
). Vou usar a convenção em frequência angular
(mais comum em sinais/controle/ física):
onde
(unidade imaginária) e
é a frequência angular (rad/s). Aqui
é a função temporal e
é sua transformada.
Passo 3
Lema/integral padrão que vamos usar (fórmula conhecida para integrais gaussianas):
seja com
. Então
seja
Explicação curta: essa integral é a integral gaussiana padrão; quando
real, a integral converge e seu valor é
. Essa fórmula será usada depois após completar o quadrado no expoente.
Passo 4
Aplicando a definição ao nosso
. Temos
Agora vamos manipular o expoente para colocá-lo na forma de uma gaussiana pura (completando o quadrado).
Passo 5
Completar o quadrado no expoente. Começamos com
Formamos o quadrado perfeito:
Calcule
. Assim
Substituindo de volta no expoente:
Passo 6
Separe o fator que depende de
fora da integral:
Agora fazemos a mudança de variável complexa
. A linha de integração no plano complexo desloca-se verticalmente, mas como a função
é inteira e decai rapidamente, esse deslocamento não altera o valor da integral (argumento padrão baseado em integração de Gauss por deslocamento de contorno). Portanto a integral vale a mesma que ao integrar sobre o eixo real:
Passo 7
Use a fórmula do Passo 3 com
(observe
aqui):
Portanto a integral vale
. Substituindo em
,
Passo 8
Interpretação e forma final. Podemos escrever a transformada de forma compacta:
Observação sobre simetria:
é real, positiva e até função gaussiana em
; como esperado, a transformada de uma gaussiana é outra gaussiana (a largura no domínio da frequência é inversamente relacionada à largura no tempo).
Passo 9
Montando a tabela pedida. Vou apresentar uma tabela simples com duas colunas: sinal e transformada (usando a convenção definida no Passo 2).
| Sinal
|
Transformada
|
|---|---|
|
|
|
Passo 10
Programa Scilab para plotar
e
. O programa abaixo plota em duas subplots: no superior o sinal no tempo, no inferior a magnitude da transformada (a transformada neste caso é real e positiva, então ploto diretamente
). O código é comentado para você entender cada passo.
// Scilab: plot do sinal f(t)=exp(-t^2/8) e sua transformada analítica F(omega)=sqrt(8*pi)*exp(-2*omega^2)
// parâmetros de amostragem para o tempo
tmin = -10;
tmax = 10;
Nt = 1000;
t = linspace(tmin, tmax, Nt);
// sinal no tempo
f = exp(-t.^2/8);
// parâmetros para plot da transformada (frequência angular)
wmin = -5;
wmax = 5;
Nw = 1000;
w = linspace(wmin, wmax, Nw);
// transformada analítica
F = sqrt(8*%pi) * exp(-2 * w.^2);
// plot
scf(0);
clf();
// subplot 1: sinal no tempo
subplot(2,1,1);
plot(t, f, 'b');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=exp(-t^2/8)', 't', 'f(t)');
xgrid(1);
// subplot 2: transformada (magnitude)
subplot(2,1,2);
plot(w, F, 'r');
xtitle('Transformada de Fourier: F(\\omega)=\\surd(8\\pi) e^{-2 \\omega^{2}}', '\\omega (rad/s)', 'F(\\omega)');
xgrid(1);
// Melhor visualização: ajustar eixos se necessário
// e.g., axis([wmin, wmax, 0, max(F)]);
Passo 11
Dicas práticas para execução e prova:
- Se precisar justificar a troca de caminho de integração (passo da mudança
), diga que a função integranda é inteira e decai rapidamente, permitindo deslocamento de contorno sem alterar a integral (argumento padrão em integrais gaussianas complexas). - Lembre-se de explicitar a convenção de transformada que você está usando em prova (fatores
aparecem se usar outra convenção). - Para plotagens numéricas, não use FFT direto se quiser o resultado analítico; basta avaliar
como fiz no código. Se usar FFT, cuide das escalas e fatores e do espaçamento de amostragem.
Resposta
| Sinal
|
Transformada
|
|---|---|
|
|
|
Programa Scilab:
// Scilab: plot do sinal f(t)=exp(-t^2/8) e sua transformada analítica F(omega)=sqrt(8*pi)*exp(-2*omega^2)
// parâmetros de amostragem para o tempo
tmin = -10;
tmax = 10;
Nt = 1000;
t = linspace(tmin, tmax, Nt);
// sinal no tempo
f = exp(-t.^2/8);
// parâmetros para plot da transformada (frequência angular)
wmin = -5;
wmax = 5;
Nw = 1000;
w = linspace(wmin, wmax, Nw);
// transformada analítica
F = sqrt(8*%pi) * exp(-2 * w.^2);
// plot
scf(0);
clf();
// subplot 1: sinal no tempo
subplot(2,1,1);
plot(t, f, 'b');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=exp(-t^2/8)', 't', 'f(t)');
xgrid(1);
// subplot 2: transformada (magnitude)
subplot(2,1,2);
plot(w, F, 'r');
xtitle('Transformada de Fourier: F(\\omega)=\\surd(8\\pi) e^{-2 \\omega^{2}}', '\\omega (rad/s)', 'F(\\omega)');
xgrid(1);