Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=3 \sin (3 t-2)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a transformada de Fourier do sinal f(t)=3\sin(3t-2).
  • Apresentar o resultado “usando uma tabela” (ou seja: sinal versus sua transformada).
  • Fornecer um programa Scilab que plote o sinal no tempo e uma representação adequada da sua transformada.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=3\sin(3t-2).
  • Constantes identificáveis: amplitude 3, frequência angular \omega_0=3 (rad/s) e defasagem -2 (rad).

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (explicação didática):
  • A transformada de Fourier contínua, na convenção que usaremos, é
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Expliquei: aqui t é o tempo, \omega é a frequência angular (rad/s), j é a unidade imaginária (j^2=-1). O resultado F(\omega) pode ser uma função contínua ou uma combinação de distribuições (por exemplo, deltas) no caso de sinais harmônicos puros.
  • Propriedade útil: a exponencial complexa gera impulsos na frequência:
\mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}\}=2\pi\,\delta(\omega-\omega_0).
Explicando: a transformada de e^{j\omega_0 t} (uma onda complexa pura) não é uma função comum, é um impulso (delta) centrado em \omega=\omega_0 com “peso” 2\pi. A distribuição \delta(\cdot) significa um pico concentrado na frequência indicada.
  • Linearidade: a transformada é linear, então podemos decompor sinais e somar transformadas.
  • Identidade da função seno em termos de exponenciais complexas (muito prática para FT):
\sin\theta=\frac{1}{2j}\left(e^{j\theta}-e^{-j\theta}\right).
Explicando: isso transforma a senoide real numa combinação de duas exponenciais complexas, o que facilita usar a propriedade acima.

Passo 3

Decomposição do sinal e aplicação das propriedades (passo a passo das contas):
  1. Escrevo a senoide como exponenciais:
f(t)=3\sin(3t-2)=3\cdot\frac{1}{2j}\bigl(e^{j(3t-2)}-e^{-j(3t-2)}\bigr).
Expliquei: peguei a identidade \sin e substituí \theta=3t-2.
  1. Factorizo os termos constantes de fase:
e^{j(3t-2)}=e^{-j2}\,e^{j3t},\qquad e^{-j(3t-2)}=e^{j2}\,e^{-j3t}.
Expliquei: separamos a parte que depende de t (exponencial com 3t) da constante de fase e^{\mp j2}.
  1. Uso a transformada das exponenciais:
  • \mathcal{F}\{e^{j3t}\}=2\pi\,\delta(\omega-3).
  • \mathcal{F}\{e^{-j3t}\}=2\pi\,\delta(\omega+3).
  1. Aplico linearidade e coloco tudo junto:
\begin{aligned} F(\omega)&=\mathcal{F}\{3\sin(3t-2)\} =3\cdot\frac{1}{2j}\Bigl(e^{-j2}\cdot 2\pi\,\delta(\omega-3)-e^{j2}\cdot 2\pi\,\delta(\omega+3)\Bigr)\\[6pt] &=\frac{3\cdot 2\pi}{2j}\Bigl(e^{-j2}\,\delta(\omega-3)-e^{j2}\,\delta(\omega+3)\Bigr)\\[6pt] &=\frac{3\pi}{j}\Bigl(e^{-j2}\,\delta(\omega-3)-e^{j2}\,\delta(\omega+3)\Bigr). \end{aligned}
Expliquei cada passo: multipliquei constantes, mantive os fatores exponenciais de fase e usei os deltas vindos das exponenciais em t.
  1. Opcional — forma alternativa (mais intuitiva quanto ao sinal imaginário):
    sabendo que 1/j=-j, podemos escrever
F(\omega)=3\pi j\Bigl(e^{j2}\,\delta(\omega+3)-e^{-j2}\,\delta(\omega-3)\Bigr).
Essa forma às vezes ajuda a ver simetria entre os termos em \omega=+3 e \omega=-3.
Observação didática sobre magnitude/fase dos impulsos:
  • Ambas as posições \omega=\pm 3 têm módulo (peso) igual a 3\pi (porque |e^{\pm j2}|=1 e |1/j|=1).
  • As fases dos impulsos são dadas pelas fases dos coeficientes complexos (3\pi/j)e^{-j2} e -(3\pi/j)e^{j2}; se precisar usá-las na prova saiba extrair arg() desses complexos.]

Passo 4

Tabela pedida (sinal versus transformada). A tabela abaixo resume o que fizemos de forma compacta:
Sinal f(t) Transformada F(\omega)
f(t)=3\sin(3t-2) \displaystyle F(\omega)=\frac{3\pi}{j}\Bigl(e^{-j2}\,\delta(\omega-3)-e^{j2}\,\delta(\omega+3)\Bigr)
Explicando a tabela: a coluna da transformada mostra que o espectro é formado por dois impulsos (deltas) localizados em \omega=3 e \omega=-3, com amplitudes complexas que carregam a informação de fase \pm 2 rad e o fator 3\pi/j.

Passo 5

Como plotar no Scilab (explicação prática):
  • No domínio do tempo: plotamos diretamente f(t)=3\sin(3t-2) em um intervalo de tempo razoável (ex.: várias oscilações).
  • No domínio da frequência: a transformada é formada por deltas (distribuições). Num programa numérico não podemos desenhar deltas contínuos; então representamos os deltas como “pontos/estacas” (stem) em \omega=\pm 3 com alturas iguais ao módulo dos coeficientes e também mostramos a fase. Isso é suficiente para visualização e prova de entendimento (na prova também é comum desenhar dois impulsos com as respectivas amplitudes/phasors).

Passo 6

Programa Scilab que plota o sinal no tempo e representa a transformada por dois impulsos (magnitude e fase). Cole e execute no Scilab:
// Plota f(t) = 3*sin(3*t - 2) e representa a transformada (impulsos em w = -3 e +3)

// tempo
t = linspace(-5,5,2000);
f = 3*sin(3*t - 2);

// plot tempo
clf();
subplot(3,1,1);
plot(t,f,'b-');
xlabel('t (s)');
ylabel('f(t)');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=3*sin(3*t-2)');
xgrid();

// calcular coeficientes dos deltas a partir da fórmula derivada
A_pos = (3*%pi/%i)*exp(-%i*2);  // amplitude associada a delta(omega-3)
A_neg = -(3*%pi/%i)*exp(%i*2); // amplitude associada a delta(omega+3) -> posição omega = -3

// posicionamento das frequências
w = [-3, 3];
Fvals = [A_neg, A_pos]; // corresponde a w = -3 e w = +3

// plot magnitude dos impulsos
subplot(3,1,2);
stem(w, abs(Fvals), 'r');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('|F(\omega)|');
xtitle('Magnitude da transformada (impulsos)');
xgrid();

// plot fase dos impulsos
subplot(3,1,3);
phase_vals = atan(imag(Fvals)./real(Fvals)); // aproximação para fase; ou usar atan2
// melhor usar atan2 para faixa correta:
phase_vals = atan2(imag(Fvals), real(Fvals));
stem(w, phase_vals, 'm');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('arg(F(\omega)) (rad)');
xtitle('Fase da transformada (impulsos)');
xgrid();
Notas sobre o código:
  • Em Scilab, %i é a unidade imaginária.
  • stem desenha “estacas” em posições discretas, ideal para representar deltas.
  • abs(Fvals) mostra a magnitude (esperada: 3\pi em ambas as posições).
  • atan2(imag(Fvals), real(Fvals)) dá a fase dos coeficientes complexos em radianos.

Resposta

F(\omega)=\frac{3\pi}{j}\Bigl(e^{-j2}\,\delta(\omega-3)-e^{j2}\,\delta(\omega+3)\Bigr)
// Scilab para plotar f(t) e representação da transformada (impulsos)
t = linspace(-5,5,2000);
f = 3*sin(3*t - 2);
clf();
subplot(3,1,1);
plot(t,f,'b-');
xlabel('t (s)');
ylabel('f(t)');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=3*sin(3*t-2)');
xgrid();

A_pos = (3*%pi/%i)*exp(-%i*2);
A_neg = -(3*%pi/%i)*exp(%i*2);
w = [-3, 3];
Fvals = [A_neg, A_pos];

subplot(3,1,2);
stem(w, abs(Fvals), 'r');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('|F(\omega)|');
xtitle('Magnitude da transformada (impulsos)');
xgrid();

subplot(3,1,3);
phase_vals = atan2(imag(Fvals), real(Fvals));
stem(w, phase_vals, 'm');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('arg(F(\omega)) (rad)');
xtitle('Fase da transformada (impulsos)');
xgrid();

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