Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=\operatorname{tri}\left(\frac{t}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o sinal f(t)=\operatorname{tri}\!\left(\frac{t}{2}\right):
  1. Escrever, usando uma tabela, a transformada de Fourier do sinal.
  2. Fazer um programa Scilab para plotar tanto o sinal f(t) quanto a sua transformada F(\omega).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O sinal temporal dado é f(t)=\operatorname{tri}\!\left(\frac{t}{2}\right).
  • Não foi dada explicitamente a definição de \operatorname{tri}, então vou usar a definição padrão (mais comum em processamento de sinais): \operatorname{tri}(x)=\max\{1-|x|,0\}, ou seja,
\operatorname{tri}(x)=\begin{cases} 1-|x|, & |x|\le 1,\\[4pt] 0, & |x|>1. \end{cases}
  • Vou usar a convenção da transformada de Fourier contínua:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.]

Passo 2

Entender a função triangular e propriedades úteis (aulas rápidas, na prática para prova):
  • Definição concreta (repetindo para fixar): [\operatorname{tri}(x)=1-|x|) para |x|\le 1 e zero fora. Essa função tem pico 1 em x=0 e base de largura 2 (vai de -1 a 1).
  • Identidade útil: a função triangular pode ser obtida como convolução de duas funções retângulo (rect):
\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t),
onde \operatorname{rect}(t) é a “porta” unitária de largura 1 centrada em zero:
\operatorname{rect}(t)=\begin{cases} 1, & |t|\le \tfrac{1}{2},\\[4pt] 0, & |t|>\tfrac{1}{2}. \end{cases}
  • Propriedade de transformada: convolução no tempo vira multiplicação na frequência:
f_1(t)*f_2(t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} F_1(\omega)\,F_2(\omega).
  • Transformada da \operatorname{rect}(t)\] (com a convenção acima) é a função sinc: \[\int_{-1/2}^{1/2} e^{-j\omega t}\,dt = \frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2} = \operatorname{sinc}\!\left(\frac{\omega}{2}\right),\] onde eu uso a notação \(\operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}.
  • Propriedade de escala temporal: se g(t)=f(a t) com a\neq 0, então
G(\omega)=\frac{1}{|a|}\,F\!\left(\frac{\omega}{a}\right).
Essa propriedade é fundamental para tratar \operatorname{tri}\!\left(\frac{t}{2}\right).]

Passo 3

Derivando a transformada de \operatorname{tri}(t) por convolução (passo intermediário didático):
  • Como \operatorname{tri}(t)=\operatorname{rect}(t)*\operatorname{rect}(t) e
    \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}=\operatorname{sinc}\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right),
    pelo teorema da convolução temos
\mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\}=\left[\operatorname{sinc}\!\left(\frac{\omega}{2}\right)\right]^2.
  • Esse resultado pode ser escrito de forma explícita:
\mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\}=\left(\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\right)^2.
  • Observação alternativa (opcional para prova): se você integrar diretamente \operatorname{tri}(t) (lembrando que \operatorname{tri}(t)=1-|t| em |t|\le 1), chega à mesma expressão, mas a via por convolução é mais curta e elegante.

Passo 4

Aplicando a propriedade de escala para obter a transformada de \operatorname{tri}\!\left(\dfrac{t}{2}\right):
  • Temos f(t)=\operatorname{tri}\!\left(\dfrac{t}{2}\right). Isso é da forma f(t)=g(a t) com g(t)=\operatorname{tri}(t) e a=\dfrac{1}{2} (pois g(a t)=\operatorname{tri}\!\big(\tfrac{1}{2}t\big)=\operatorname{tri}(t/2)).
  • Pela propriedade de escala (ver passo anterior):
F(\omega)=\frac{1}{|a|}\,G\!\left(\frac{\omega}{a}\right).
Aqui a=\dfrac{1}{2}, logo \dfrac{1}{|a|}=2 e \dfrac{\omega}{a}=2\omega.
  • Sabemos de antes que G(\omega)=\left(\dfrac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\right)^2. Substituindo,
F(\omega)=2\left[\operatorname{sinc}\!\left(\frac{2\omega}{2}\right)\right]^2 =2\left[\operatorname{sinc}(\omega)\right]^2.
  • Expandindo \operatorname{sinc}:
F(\omega)=2\left(\frac{\sin\omega}{\omega}\right)^2.
  • Uma forma alternativa (usando \sin^2\omega=(1-\cos 2\omega)/2) é
F(\omega)=\frac{1-\cos(2\omega)}{\omega^2},
com a interpretação de limite \displaystyle\lim_{\omega\to 0}F(\omega)=2 (usar série ou limite de \frac{\sin\omega}{\omega}\to 1).

Passo 5

Apresentando a resposta na forma de tabela (pedido explícito):
Sinal f(t) Transformada F(\omega)
\displaystyle f(t)=\operatorname{tri}\!\left(\frac{t}{2}\right) \displaystyle F(\omega)=2\left(\frac{\sin\omega}{\omega}\right)^2=\frac{1-\cos(2\omega)}{\omega^2}
Observação: ambas as expressões são equivalentes; na prática a forma 2\left(\dfrac{\sin\omega}{\omega}\right)^2 é a mais direta e numérica, a forma \dfrac{1-\cos(2\omega)}{\omega^2} é útil para análise (limites, série de Taylor).

Passo 6

Programa Scilab para plotar f(t) e F(\omega) (código pronto, copie/cole no Scilab). O código inclui tratamento do ponto \omega=0 para evitar divisão por zero.
// Scilab code: plot f(t)=tri(t/2) and its Fourier transform F(w)=2*(sin(w)/w)^2

// definição da função triangular tri(x) = max(1-|x|,0)
function y = tri(x)
    y = 1 - abs(x);
    y = y .* (y > 0); // zera os negativos
endfunction

// vetor tempo para plotar f(t)
t = linspace(-4, 4, 1000);
f = tri(t/2);

// vetor frequência (omega) para plotar F(omega)
w = linspace(-10, 10, 2000);

// calcular sinc(w) = sin(w)/w com tratamento de w=0
sincw = sin(w)./w;
sincw(w==0) = 1; // limite quando w->0

// transformada analítica
F = 2 * (sincw).^2;

// plot dos dois em subplots
clf();
subplot(2,1,1);
plot(t, f, 'b-');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
xtitle('f(t) = tri(t/2)');
xgrid();

subplot(2,1,2);
plot(w, F, 'r-');
xlabel('\omega');
ylabel('F(\omega)');
xtitle('F(\omega) = 2 (sin(\omega)/\omega)^2');
xgrid();
Notas sobre o código:
  • Ajuste os intervalos de t e \omega (aqui usei [-4,4] e [-10,10]) conforme desejar para zoom.
  • A função tri está vetorizada; tri(t/2) cria a forma triangular de base largura 4 (pois \operatorname{tri}(x) tem base 2, o argumento t/2 estica horizontalmente por 2).
  • A linha sincw(w==0) = 1; garante o valor correto em \omega=0 (onde a expressão direta dá 0/0).

Resposta

\displaystyle f(t)=\operatorname{tri}\!\left(\frac{t}{2}\right)\quad\Longleftrightarrow\quad F(\omega)=2\left(\frac{\sin\omega}{\omega}\right)^2=\frac{1-\cos(2\omega)}{\omega^2}
Programa Scilab:
function y = tri(x)
    y = 1 - abs(x);
    y = y .* (y > 0);
endfunction

t = linspace(-4, 4, 1000);
f = tri(t/2);

w = linspace(-10, 10, 2000);
sincw = sin(w)./w;
sincw(w==0) = 1;
F = 2 * (sincw).^2;

clf();
subplot(2,1,1);
plot(t, f, 'b-');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
xtitle('f(t) = tri(t/2)');
xgrid();

subplot(2,1,2);
plot(w, F, 'r-');
xlabel('\omega');
ylabel('F(\omega)');
xtitle('F(\omega) = 2 (sin(\omega)/\omega)^2');
xgrid();

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