Usando o teorema binomial, desenvolva:
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver a expressão
.
Informações dadas: temos uma diferença de duas raízes quadradas elevada à quarta potência. Não há valores numéricos para ou
; devemos obter a expressão expandida em termos de
e
.
Informações dadas: temos uma diferença de duas raízes quadradas elevada à quarta potência. Não há valores numéricos para
Passo 2
Vamos usar o Teorema Binomial. Vou explicar ele de forma bem direta: para quaisquer números (ou expressões)
e
e inteiro não negativo
,
onde
é o coeficiente binomial, que conta quantas maneiras escolhemos
itens dentre
e é dado por
Aqui
(fatorial) significa
, e convencionamos
.
Passo 3
Aplicamos com
. Primeiro calculamos os coeficientes binomiais necessários:
(Ex.:
.)
Passo 4
No nosso caso temos diferença, ou seja
e
. Porém é mais simples aplicar com
e
e lembrar dos sinais alternados por causa do sinal menos:
.
Os sinais aparecem como quando
é ímpar.
Os sinais aparecem como
Passo 5
Agora escrevemos a expansão termo a termo usando os coeficientes:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo usando que
e as regras de potência:
e
.
Calculemos termo a termo:
Calculemos termo a termo:
Agora multiplicamos pelos coeficientes binomiais:
Passo 7
Reunindo os sinais e simplificando:
Se quiser, podemos também escrever usando raízes em vez de potências fracionárias:
mas a forma com expoentes é mais direta e clara.