Usando o teorema binomial, desenvolva:
(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a expressão (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4}.
Informações dadas: temos uma diferença de duas raízes quadradas elevada à quarta potência. Não há valores numéricos para x ou y; devemos obter a expressão expandida em termos de x e y.

Passo 2

Vamos usar o Teorema Binomial. Vou explicar ele de forma bem direta: para quaisquer números (ou expressões) a e b e inteiro não negativo n,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta quantas maneiras escolhemos k itens dentre n e é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! (fatorial) significa n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1, e convencionamos 0!=1.

Passo 3

Aplicamos com n=4. Primeiro calculamos os coeficientes binomiais necessários:
\binom{4}{0}=1,\qquad \binom{4}{1}=4,\qquad \binom{4}{2}=6,\qquad \binom{4}{3}=4,\qquad \binom{4}{4}=1.
(Ex.: \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=\dfrac{24}{2\cdot2}=6.)

Passo 4

No nosso caso temos diferença, ou seja a=\sqrt{x} e b=-\sqrt{y}. Porém é mais simples aplicar com a=\sqrt{x} e b=\sqrt{y} e lembrar dos sinais alternados por causa do sinal menos: (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4}=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(\sqrt{x})^{4-k}(-\sqrt{y})^{k}.
Os sinais aparecem como (-1)^k quando k é ímpar.

Passo 5

Agora escrevemos a expansão termo a termo usando os coeficientes:
(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4}=\binom{4}{0}(\sqrt{x})^{4}(-\sqrt{y})^{0}+\binom{4}{1}(\sqrt{x})^{3}(-\sqrt{y})^{1}
\quad+\binom{4}{2}(\sqrt{x})^{2}(-\sqrt{y})^{2}+\binom{4}{3}(\sqrt{x})^{1}(-\sqrt{y})^{3}+\binom{4}{4}(\sqrt{x})^{0}(-\sqrt{y})^{4}.

Passo 6

Vamos simplificar cada termo usando que \sqrt{x}=x^{1/2} e as regras de potência: (x^{a})^{b}=x^{ab} e x^{p}x^{q}=x^{p+q}.
Calculemos termo a termo:
(\sqrt{x})^{4}=(x^{1/2})^{4}=x^{1/2\cdot4}=x^{2}.
(\sqrt{x})^{3}(\!-\sqrt{y}\!)=(x^{1/2})^{3}(-y^{1/2})= - x^{3/2}y^{1/2}.
(\sqrt{x})^{2}(\!-\sqrt{y}\!)^{2}=(x^{1/2})^{2}(y^{1/2})^{2}=x^{1}y^{1}=xy.
(\sqrt{x})(\!-\sqrt{y}\!)^{3}=(x^{1/2})(-1)^3(y^{1/2})^{3}=-x^{1/2}y^{3/2}.
(\!-\sqrt{y}\!)^{4}=(-1)^4(y^{1/2})^{4}=y^{2}.
Agora multiplicamos pelos coeficientes binomiais:
1\cdot x^{2} + 4\cdot(-x^{3/2}y^{1/2}) + 6\cdot xy + 4\cdot(-x^{1/2}y^{3/2}) + 1\cdot y^{2}.

Passo 7

Reunindo os sinais e simplificando:
(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4}=x^{2}-4x^{3/2}y^{1/2}+6xy-4x^{1/2}y^{3/2}+y^{2}.
Se quiser, podemos também escrever usando raízes em vez de potências fracionárias:
(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4}=x^{2}-4x^{3/2}y^{1/2}+6xy-4x^{1/2}y^{3/2}+y^{2} = x^{2}-4x\sqrt{xy}+6xy-4\sqrt{xy}\,y+y^{2},
mas a forma com expoentes é mais direta e clara.

Resposta

(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4}=x^{2}-4x^{3/2}y^{1/2}+6xy-4x^{1/2}y^{3/2}+y^{2}

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