Usando o teorema binomial, desenvolva:
(3 x+4 y)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a expressão (3 x+4 y)^{4}.
Informações dadas: a expressão é uma soma de duas parcelas (3x) e (4y) elevada ao expoente 4. O objetivo é expandir esse binómio em soma de termos monomiais (potências de x e y).

Passo 2

Vou usar o teorema binomial. O teorema diz que, para inteiros n\ge 0,
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial definido por
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! (fatorial de n) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Esse coeficiente conta de quantas maneiras escolhemos k itens entre n, e aparece como multiplicador de cada termo na expansão.

Passo 3

Identifico na expressão:
a = 3x,\qquad b = 4y,\qquad n = 4.
Então vou aplicar a fórmula com k=0,1,2,3,4.

Passo 4

Calculo os coeficientes binomiais necessários:
\binom{4}{0}=1,\qquad \binom{4}{1}=4,\qquad \binom{4}{2}=6,\qquad \binom{4}{3}=4,\qquad \binom{4}{4}=1.
Como exemplo de cálculo: \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=\dfrac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(2\cdot1)}=\dfrac{24}{4}=6.

Passo 5

Agora calculo termo a termo usando (a+b)^4=\sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} a^{4-k} b^{k}.
k = 0:
\binom{4}{0}(3x)^{4}(4y)^{0} = 1\cdot 3^{4}x^{4}\cdot 1 = 81x^{4}.
(k porque 3^4=81.)
k = 1:
\binom{4}{1}(3x)^{3}(4y)^{1} = 4\cdot 3^{3}x^{3}\cdot 4y = 4\cdot 27 x^{3}\cdot 4y = 4\cdot 108\,x^{3}y = 432\,x^{3}y.
(Detalhe: 3^3=27, 27\cdot4=108, 108\cdot4=432.)
k = 2:
\binom{4}{2}(3x)^{2}(4y)^{2} = 6\cdot 3^{2}x^{2}\cdot 4^{2}y^{2} = 6\cdot 9 x^{2}\cdot 16 y^{2} = 6\cdot 144\,x^{2}y^{2} = 864\,x^{2}y^{2}.
(Detalhe: 3^2=9, 4^2=16, 9\cdot16=144, 144\cdot6=864.)
k = 3:
\binom{4}{3}(3x)^{1}(4y)^{3} = 4\cdot 3x\cdot 4^{3}y^{3} = 4\cdot 3x\cdot 64 y^{3} = 4\cdot 192\,x y^{3} = 768\,x y^{3}.
(Detalhe: 4^3=64, 3\cdot64=192, 192\cdot4=768.)
k = 4:
\binom{4}{4}(3x)^{0}(4y)^{4} = 1\cdot 1\cdot 4^{4}y^{4} = 256\,y^{4}.
(Detalhe: 4^4=256.)

Passo 6

Somando todos os termos calculados obtemos a expansão completa:
(3x+4y)^4 = 81x^{4} + 432x^{3}y + 864x^{2}y^{2} + 768x y^{3} + 256y^{4}.

Resposta

(3x+4y)^4 = 81x^{4} + 432x^{3}y + 864x^{2}y^{2} + 768x y^{3} + 256y^{4}

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