Usando o teorema dos resíduos, obtenha os resultados \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+1} d x=\frac{\pi}{2}.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+1}.
Informações dadas e observações iniciais:
A função integranda é x\mapsto \dfrac{1}{x^{2}+1} para x\in[0,\infty).
A integral é própria no intervalo interior, mas imprópria por extensão até +\infty.
O objetivo final é obter um valor numérico exato para essa integral.
Passo 2
Transformação para o plano complexo e escolha do contorno.
Vou trabalhar com a função complexa
f(z)=\frac{1}{z^{2}+1},
onde z é uma variável complexa. A ideia é integrar f(z) ao longo de um contorno fechado no plano complexo que contenha o segmento real de interesse. Escolho o contorno \Gamma_R formado por:
o segmento reto [ -R, R ] no eixo real (orientado da esquerda para a direita),
o semicírculo C_R de raio R no semiplano superior, parametrizado por z=Re^{it} com t\in[0,\pi] (orientação contrária ao relógio).
Então o contorno fechado é a união \Gamma_R = [-R,R] \cup C_R, circulado no sentido positivo. Mais adiante farei R\to\infty.
Passo 3
Pontos singulares de f e cálculo da(s) resíduo(s).
Os polos de f são as soluções de z^{2}+1=0, ou seja
z=\pm i.
Desses, apenas z=i está no semiplano superior (pois \operatorname{Im}(i)=1>0). O polo em z=i é simples (fatoriza-se z^{2}+1=(z-i)(z+i)). A definição prática do resíduo em um polo simples é
Resumo rápido: estender a integral real para uma integral de contorno no plano complexo, aplicar o Teorema dos Resíduos usando o único polo no semiplano superior (z=i), calcular o resíduo simples \dfrac{1}{2i}, provar que a contribuição do semicírculo superior tende a zero quando o raio vai a infinito e, finalmente, obter o valor total \pi para a integral no eixo real, cuja metade é a integral de 0 a \infty.
Dica prática: em provas, normalmente basta identificar os polos no semiplano escolhido, calcular o resíduo simples com a factorização z^{2}+1=(z-i)(z+i), e usar a estimativa mostrada para anular a contribuição do semicírculo.