Usando o teorema dos resíduos, obtenha os resultados
\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+1} d x=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é x\mapsto \dfrac{1}{x^{2}+1} para x\in[0,\infty).
  • A integral é própria no intervalo interior, mas imprópria por extensão até +\infty.
  • O objetivo final é obter um valor numérico exato para essa integral.

Passo 2

Transformação para o plano complexo e escolha do contorno.
Vou trabalhar com a função complexa
f(z)=\frac{1}{z^{2}+1},
onde z é uma variável complexa. A ideia é integrar f(z) ao longo de um contorno fechado no plano complexo que contenha o segmento real de interesse. Escolho o contorno \Gamma_R formado por:
  • o segmento reto [ -R, R ] no eixo real (orientado da esquerda para a direita),
  • o semicírculo C_R de raio R no semiplano superior, parametrizado por z=Re^{it} com t\in[0,\pi] (orientação contrária ao relógio).
Então o contorno fechado é a união \Gamma_R = [-R,R] \cup C_R, circulado no sentido positivo. Mais adiante farei R\to\infty.

Passo 3

Pontos singulares de f e cálculo da(s) resíduo(s).
Os polos de f são as soluções de z^{2}+1=0, ou seja
z=\pm i.
Desses, apenas z=i está no semiplano superior (pois \operatorname{Im}(i)=1>0). O polo em z=i é simples (fatoriza-se z^{2}+1=(z-i)(z+i)). A definição prática do resíduo em um polo simples é
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
Aplicando em z_0=i:
\operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{z-i}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{i+i}=\frac{1}{2i}.
Portanto o único resíduo dentro do contorno é \dfrac{1}{2i}.

Passo 4

Enunciado do Teorema dos Resíduos e aplicação ao contorno.
O Teorema dos Resíduos afirma que se f é meromorfa dentro e sobre um contorno fechado simples \Gamma_R, então
\oint_{\Gamma_R} f(z)\,dz = 2\pi i \sum (\text{resíduos de }f\text{ dentro de }\Gamma_R).í
Aqui há só o resíduo em z=i, logo
\oint_{\Gamma_R} f(z)\,dz = 2\pi i\cdot\frac{1}{2i} = \pi.
Por definição do contorno,
\oint_{\Gamma_R} f(z)\,dz = \int_{-R}^{R} \frac{dx}{x^{2}+1} + \int_{C_R} \frac{dz}{z^{2}+1},
onde \int_{-R}^{R} é a integral ao longo do eixo real e \int_{C_R} é a integral ao longo do semicírculo C_R.

Passo 5

Estimativa do integral sobre o semicírculo C_R (mostrando que tende a zero).
Parametrizo o semicírculo por z=Re^{it}, com t\in[0,\pi]. Então |dz|=R\,dt. Para R>1 tem-se a estimativa
|z^{2}+1| \ge |z|^{2}-1 = R^{2}-1.
Assim, o módulo da integral sobre C_R satisfaz
\left|\int_{C_R}\frac{dz}{z^{2}+1}\right| \le \int_{0}^{\pi} \frac{|dz|}{|z^{2}+1|} \le \int_{0}^{\pi} \frac{R\,dt}{R^{2}-1} = \frac{\pi R}{R^{2}-1}.
Como \dfrac{\pi R}{R^{2}-1}\to 0 quando R\to\infty, concluímos que
\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}\frac{dz}{z^{2}+1}=0.

Passo 6

Passagem ao limite R\to\infty e relação com a integral real desejada.
Voltando à igualdade do Passo 4 e levando R\to\infty, usando que o termo sobre C_R vai a zero:
\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}\frac{dx}{x^{2}+1} = \pi.
Portanto
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1} = \pi.

Passo 7

Obtenção de \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}.
A função x\mapsto \dfrac{1}{x^{2}+1} é par (ou seja, f(-x)=f(x)), logo a integral no eixo inteiro é o dobro da integral de 0 a +\infty:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1} = 2\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}.
Como a integral sobre (-\infty,\infty) vale \pi, segue que
2\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1} = \pi,
ou seja
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1} = \frac{\pi}{2}.

Passo 8

Resumo do raciocínio e dica prática para a prova.
Resumo rápido: estender a integral real para uma integral de contorno no plano complexo, aplicar o Teorema dos Resíduos usando o único polo no semiplano superior ( z=i), calcular o resíduo simples \dfrac{1}{2i}, provar que a contribuição do semicírculo superior tende a zero quando o raio vai a infinito e, finalmente, obter o valor total \pi para a integral no eixo real, cuja metade é a integral de 0 a \infty.
Dica prática: em provas, normalmente basta identificar os polos no semiplano escolhido, calcular o resíduo simples com a factorização z^{2}+1=(z-i)(z+i), e usar a estimativa mostrada para anular a contribuição do semicírculo.

Resposta

\frac{\pi}{2}

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