onde o parâmetro é a e o enunciado indica a\ge 0. As informações relevantes que temos são:
A integral é sobre x\in[0,\infty).
O integrando é \dfrac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}.
O parâmetro a aparece no denominador como x^{2}+a^{2} (há singularidades em x=\pm i a no plano complexo).
Observação importante (para não me enrolar depois): o método complexo que vou usar exige, para evitar problemas, que a>0. Para a=0 a integral \int_{0}^{\infty}\dfrac{\cos x}{x^{2}}\,dx não é convergente no ponto 0, portanto o resultado a obter vale para a>0.
Passo 2
Transformação complexa que facilita o problema. Em vez de trabalhar diretamente com \cos x, considero a integral ao longo da reta real da função complexa
Assim, basta calcular \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}\,dx usando integração no plano complexo.
Passo 3
Escolha do contorno e propriedades de f(z). Tomo o contorno formado pela reta [-R,R] no eixo real mais a semicircunferência C_R de raio R no semiplano superior (orientação positiva). A função
f(z)=\frac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}
é meromorfa com polos simples em z=ia e z=-ia. Para a>0 o polo z=ia está no semiplano superior e z=-ia está no inferior, logo dentro do contorno fechado (reta + semicircunferência superior) só fica o polo z=ia.
Passo 4
Aplicação do teorema dos resíduos. Pelo teorema dos resíduos, a integral de f ao redor do contorno fechado é
Agora envio R\to\infty. Preciso justificar que a integral sobre C_R tende a zero quando R\to\infty (isso permite identificar o limite da integral sobre (-R,R) com a integral sobre (-\infty,\infty)).
Passo 5
Justificativa da anulação da integral sobre a semicircunferência (lema de Jordan, versão prática). Em z=R e^{i\theta} com \theta\in[0,\pi] temos
|e^{iz}|=e^{-\Im(z)}=e^{-R\sin\theta},
que é exponencialmente pequena para \theta não muito próximo de 0 ou \pi. Além disso, no denominador |z^{2}+a^{2}|\ge R^{2}-a^{2}. Assim, um estimador simples dá, para a integral sobre C_R,
\left|\int_{C_R}\frac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}\,dz\right| \le \frac{\pi R \max_{C_R}|e^{iz}|}{R^{2}-a^{2}}.
Como \max_{C_R}|e^{iz}|\le 1 e o denominador cresce como R^{2}, o lado direito tende a 0 quando R\to\infty. Logo
Conclusão para a integral sobre a reta real. Fazendo R\to\infty na expressão do Passo 4, e usando que a contribuição da semicircunferência some, obtemos