Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(b) sumn=1^infty 2^n(n+1n^2)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste de Cauchy, que ajuda a determinar a convergência de séries infinitas analisando o comportamento dos termos conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Cauchy. Esse teste, também conhecido como Teste da Raiz, nos diz que para uma série , calculamos o limite :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, cada termo L = limn to infty raiz[n]2^n(n+1n^2)^n é . Então, precisamos calcular:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do limite:
raiz[n]2^n(n+1n^2)^n = 2 cdot n+1n^2
Isso porque a raiz -ésima de é , e a raiz -ésima de é .

Passo 5

Agora, vamos simplificar n+1n^2 = nn^2 + 1n^2 = 1n + 1n^2 :
limn to infty 1n + 1n^2 = 0
À medida que vai para o infinito, e tendem a 0. Então, temos:

Passo 6

Voltando ao limite L = 2 cdot limn to infty (1n + 1n^2) = 2 cdot 0 = 0 :

Resposta

Como , pela Regra de Cauchy, a série converge.

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