Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste de Cauchy, que ajuda a determinar a convergência de séries infinitas analisando o comportamento dos termos conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Cauchy. Esse teste, também conhecido como Teste da Raiz, nos diz que para uma série
, calculamos o limite
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, cada termo
é
. Então, precisamos calcular:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro do limite:
Isso porque a raiz
-ésima de
é
, e a raiz
-ésima de
é
.
Passo 5
Agora, vamos simplificar
:
À medida que
vai para o infinito,
e
tendem a 0. Então, temos:
Passo 6
Voltando ao limite
:
Resposta
Como
, pela Regra de Cauchy, a série
converge.