(1 + x e^(x y)) dy/dx + 1 + y e^(x y) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente das Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Aqui, temos e . Para verificar se é uma equação exata, vamos calcular as derivadas parciais:
Percebemos que , o que confirma que a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Para isso, integramos em relação a :
A integral pode ser resolvida fazendo uma substituição simples. Vamos considerar , então , e a integral fica:
Então, a função potencial é:

Passo 4

Como a equação é exata, a função potencial é constante. Portanto, temos:
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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