Usando o teste de D (d) sumn=1^infty 3 nraizn^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série infinita sumn=1^infty 3nraizn^3+1 e queremos descobrir se ela converge ou diverge usando o Teste de Comparação Direta (Teste de D). Esse teste é parte do estudo de séries numéricas, especificamente para analisar a convergência ou divergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor como ela se comporta quando raizn^3 + 1 approx raizn^3 = n^32 fica grande. Observamos o denominador 3nn^32 = 3n^1 - 32 = 3n^-12 = 3raizn . Para valores grandes de , o vira meio que insignificante comparado a , então podemos aproximar:
Assim, o termo geral da série fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série que seja fácil de comparar com a nossa. A gente pode comparar com a série , que é uma série p onde .
Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , então essa série diverge.

Passo 4

Usando o Teste de Comparação Direta, como é aproximadamente e sabemos que diverge, podemos concluir que a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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