Usando o teste de D (h) sumn=1^infty n+1n 4^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para analisar a série infinita usando o Teste de D. O conteúdo que vamos precisar envolve séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar a convergência ou divergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a decidir se uma série L = limn to infty | an+1an | converge ou não, calculando o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. E se , o teste não conclui nada, e precisamos usar outro método.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos an = n+1n cdot 4^n :
an+1 = (n+1)+1(n+1) cdot 4^n+1 = n+2(n+1) cdot 4^n+1
Agora, encontramos :

Passo 4

Agora, calculamos an+1an = n+2(n+1) cdot 4^n+1n+1n cdot 4^n = n+2(n+1) cdot 4^n+1 cdot n cdot 4^nn+1 :
an+1an = n(n+2)(n+1)^2 cdot 14
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty n(n+2)(n+1)^2 cdot 14 = limn to infty n^2 + 2nn^2 + 2n + 1 cdot 14 tende ao infinito:
L = limn to infty 1 + 2n1 + 2n + 1n^2 cdot 14 = 1 + 01 + 0 + 0 cdot 14 = 14
Dividindo todos os termos por :

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

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