Usando o teste da integral, verifique se as séries abaixo são convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{2}-4}}

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar, pelo teste da integral, a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{2}-4}}
O conteúdo envolve o teste da integral: se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge N e f(n)=a_n, então \sum a_n e \int_N^{\infty}f(x)\,dx convergem ou divergem juntos.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{3}{\sqrt{x^{2}-4}}\,,\quad x\ge 3
– Para x\ge3, o denominador \sqrt{x^2-4} é real e não nulo, logo f(x)>0.
– Derivando,
f'(x) =3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-4\bigr)^{-1/2} =-\frac{3x}{\bigl(x^{2}-4\bigr)^{3/2}}<0\quad\text{para }x>2,
portanto f é decrescente em [3,\infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{3}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx =3\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4}}
Usando a primitiva conhecida
\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr|+C \quad\text{com }a=2,
temos
3\Bigl[\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr)\Bigr]_{3}^{\infty} =\lim_{t\to\infty}3\ln\bigl(t+\sqrt{t^{2}-4}\bigr) -3\ln\bigl(3+\sqrt{5}\bigr).
Como \ln\bigl(t+\sqrt{t^{2}-4}\bigr)\sim\ln(2t)\to\infty, a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
\int_{3}^{\infty}f(x)\,dx=\infty,
a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{n^{2}-4}}
também diverge (os primeiros termos fora de n\ge3 não afetam o comportamento de convergência).

Resposta

A série é divergente.

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