Usando o teste da integral, verifique se as séries abaixo são convergente ou divergente. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{2}-4}}
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar, pelo teste da integral, a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{2}-4}}
O conteúdo envolve o teste da integral: se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge N e f(n)=a_n, então \sum a_n e \int_N^{\infty}f(x)\,dx convergem ou divergem juntos.
Passo 2
Definimos
f(x)=\frac{3}{\sqrt{x^{2}-4}}\,,\quad x\ge 3
– Para x\ge3, o denominador \sqrt{x^2-4} é real e não nulo, logo f(x)>0.
– Derivando,