Usando qualquer teste visto em sala de aula, determine se as séries abaixo são convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+4^{n}}{7^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+4^{n}}{7^{n}}
é convergente ou divergente.
O conteúdo envolve séries numéricas e, em particular, séries geométricas e o teste da razão. Vamos aplicar esses conceitos para analisar a convergência.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser separado em duas parcelas:
\frac{2^{n}+4^{n}}{7^{n}} =\frac{2^{n}}{7^{n}}+\frac{4^{n}}{7^{n}} =\Bigl(\frac{2}{7}\Bigr)^{n}+\Bigl(\frac{4}{7}\Bigr)^{n}.
Então a série original se escreve como a soma de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{7}\Bigr)^{n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{4}{7}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Cada uma dessas é uma série geométrica com razão r igual a \tfrac{2}{7} ou \tfrac{4}{7}.
Recordando:
  • Uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.
  • Aqui temos \bigl\lvert\tfrac{2}{7}\bigr\rvert<1 e \bigl\lvert\tfrac{4}{7}\bigr\rvert<1.
Portanto ambas as séries convergem.

Passo 4

Como a soma de séries convergentes também é convergente, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+4^{n}}{7^{n}}
é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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