Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a série harmônica modificada
Informações e observações iniciais que peguei do enunciado:
- A fórmula geral do termo é
. - Note que
, então o termo para é indefinido. Por isso a série faz sentido a partir de ; vou, portanto, considerar
O que o enunciado pede:
- Examinar, quanto à convergência, a série dada (ou seja, decidir se converge ou diverge; e se converge, dizer se é convergência absoluta).
Passo 2
Escolha do método: testes convenientes.
- Uma boa ideia quando o expoente do termo envolve
multiplicando um logaritmo é usar o teste da raiz (raiz -ésima), porque o termo aparece elevado à potência . Vou explicar o teste da raiz antes de aplicá‑lo.
Explicação do teste da raiz (enunciado e ideia):
- Seja
uma sequência de números reais. Defina
- Se
, então a série converge absolutamente. - Se
(incluindo ), então a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida:mede uma “razão geométrica média” do termo; se essa razão é menor que 1 no limite, o termo decai geometricamente e a série se comporta como uma geométrica convergente.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz aos nossos termos.
- Tomamos
. Como para , não precisamos do valor absoluto. - Calculemos a raiz
-ésima:
Aqui usei a propriedade
quando
.
Passo 4
Determinar o limite (ou limsup) de
.
- Temos
- Sabendo que
quando , segue que
- Portanto o valor
do teste da raiz é .
Passo 5
Conclusão pelo teste da raiz.
- Como
, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente. - Convergência absoluta implica convergência (ou seja, a série converge).
Passo 6
Comentário pedagógico: outra maneira (comparação com uma geométrica) — mostra um caminho alternativo que pode ser útil em provas.
- Para
suficientemente grande, fica maior que uma constante qualquer. Por exemplo, para todo (pois ). - Para
temos , logo
- A série geométrica
converge. Assim, pela comparação direta, a cauda converge; os termos iniciais (finiteza dos primeiros sete termos) não afetam a convergência global. Logo a série completa converge. - Esse argumento é intuitivo e prático em prova: mostra que os termos decaem pelo menos tão rápido quanto uma geométrica com razão menor que 1.
Passo 7
Resumo didático final (antes da resposta curta):
- O teste mais direto e elegante aqui é o teste da raiz, porque a forma
é feita para esse teste: a raiz -ésima simplifica o expoente . - O cálculo levou a
com limite , portanto e a série converge absolutamente. Se preferir, pode demonstrar também por comparação com uma geométrica a partir de algum grande.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).