Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
\sum_{1} \frac{1}{(\ln n)^{n}}

Passo 1

O enunciado fornece a série harmônica modificada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}}.
Informações e observações iniciais que peguei do enunciado:
  • A fórmula geral do termo é \displaystyle a_n=\frac{1}{(\ln n)^{n}}.
  • Note que \ln 1=0, então o termo para n=1 é indefinido. Por isso a série faz sentido a partir de n=2; vou, portanto, considerar
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}}.
O que o enunciado pede:
  • Examinar, quanto à convergência, a série dada (ou seja, decidir se converge ou diverge; e se converge, dizer se é convergência absoluta).

Passo 2

Escolha do método: testes convenientes.
  • Uma boa ideia quando o expoente do termo envolve n multiplicando um logaritmo é usar o teste da raiz (raiz n-ésima), porque o termo aparece elevado à potência n. Vou explicar o teste da raiz antes de aplicá‑lo.
Explicação do teste da raiz (enunciado e ideia):
  • Seja (a_n) uma sequência de números reais. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1 (incluindo L=+\infty), então a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Intuição rápida: \sqrt[n]{|a_n|} mede uma “razão geométrica média” do termo; se essa razão é menor que 1 no limite, o termo decai geometricamente e a série se comporta como uma geométrica convergente.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz aos nossos termos.
  • Tomamos a_n=\dfrac{1}{(\ln n)^{n}}. Como a_n>0 para n\ge2, não precisamos do valor absoluto.
  • Calculemos a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{1}{(\ln n)^{n}}}=\frac{1}{\ln n}.
Aqui usei a propriedade \sqrt[n]{x^{n}}=x quando x>0.

Passo 4

Determinar o limite (ou limsup) de \sqrt[n]{a_n}.
  • Temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}.
  • Sabendo que \ln n\to\infty quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}=0.
  • Portanto o valor L do teste da raiz é L=0.

Passo 5

Conclusão pelo teste da raiz.
  • Como L=0<1, o teste da raiz garante que a série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}} converge absolutamente.
  • Convergência absoluta implica convergência (ou seja, a série converge).

Passo 6

Comentário pedagógico: outra maneira (comparação com uma geométrica) — mostra um caminho alternativo que pode ser útil em provas.
  • Para n suficientemente grande, \ln n fica maior que uma constante qualquer. Por exemplo, \ln n\ge 2 para todo n\ge 8 (pois \mathrm{e}^2\approx 7{,}389).
  • Para n\ge 8 temos (\ln n)^n\ge 2^{n}, logo
\frac{1}{(\ln n)^{n}}\le\frac{1}{2^{n}}.
  • A série geométrica \sum_{n=8}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} converge. Assim, pela comparação direta, a cauda \sum_{n=8}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}} converge; os termos iniciais (finiteza dos primeiros sete termos) não afetam a convergência global. Logo a série completa converge.
  • Esse argumento é intuitivo e prático em prova: mostra que os termos decaem pelo menos tão rápido quanto uma geométrica com razão menor que 1.

Passo 7

Resumo didático final (antes da resposta curta):
  • O teste mais direto e elegante aqui é o teste da raiz, porque a forma (\ln n)^{n} é feita para esse teste: a raiz n-ésima simplifica o expoente n.
  • O cálculo levou a \sqrt[n]{a_n}=1/\ln n com limite 0, portanto L<1 e a série converge absolutamente. Se preferir, pode demonstrar também por comparação com uma geométrica a partir de algum N grande.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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