Sem usar calculadora, determine
\ln \left(e^{5}\right) \cdot \ln \left(e^{2}\right)

Passo 1

O que o problema pede: calcular o produto \ln\left(e^{5}\right)\cdot\ln\left(e^{2}\right).
Informações dadas: as duas expressões dentro dos logaritmos são potências da constante e: \;e^{5} e \;e^{2}.

Passo 2

Lembrete importante sobre logaritmo natural: \ln(\cdot) é a função inversa da exponencial e^{(\cdot)}. Isso significa, em particular, que para todo número real x vale
\ln\big(e^{x}\big)=x.
Outra forma equivalente, usando a propriedade dos logaritmos \ln(a^{b})=b\ln(a), é observar que
\ln\big(e^{x}\big)=x\ln(e)
e como \ln(e)=1 obtemos o mesmo resultado \ln(e^{x})=x.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao primeiro fator:
\ln\big(e^{5}\big)=5.
Explicação: usei \ln(e^{x})=x com x=5.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao segundo fator:
\ln\big(e^{2}\big)=2.
Explicação: usei \ln(e^{x})=x com x=2.

Passo 5

Agora multiplico os resultados obtidos:
\ln\big(e^{5}\big)\cdot\ln\big(e^{2}\big)=5\cdot 2=10.
Não foi necessária calculadora — só uso das propriedades básicas dos logaritmos e da constante e.

Resposta

10

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