Sem usar uma calculadora, determine
\log _{1 / 2}(1 / 2)

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos: encontrar o valor de \log_{1/2}\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Ou seja, a base do logaritmo é \tfrac{1}{2} e o argumento também é \tfrac{1}{2}.

Passo 2

Relembrando a definição de logaritmo (a ferramenta que vamos usar): para b>0, b\neq1, e a>0, definimos
\log_b a = c \quad\Longleftrightarrow\quad b^c = a.
Aqui b é a base (o número que elevamos a uma potência), a é o argumento (o resultado que queremos obter) e c é o expoente procurado. Em palavras: o logaritmo pergunta “a que potência eu devo elevar b para obter a?”

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: queremos c tal que
\left(\tfrac{1}{2}\right)^c = \tfrac{1}{2}.
Esse é exatamente o problema convertido para uma equação exponencial.

Passo 4

Observação direta: elevar \tfrac{1}{2} à potência \,1\, \tfrac{1}{2}, pois
\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = \tfrac{1}{2}.
Pelo caráter injetor da função exponencial para base positiva diferente de 1, esse expoente é único. Também vale a propriedade geral \log_b b = 1 (porque b^1=b) — aqui b=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Portanto o expoente buscado é c=1, ou seja \log_{1/2}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=1.

Resposta

1

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