Sem usar uma calculadora, determine
\log _{4}\left(4^{-1 / 3}\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pedido: calcular \log_{4}\!\bigl(4^{-1/!/3}\bigr).
  • Dado: a expressão dentro do log é uma potência com a mesma base da função logarítmica: base 4.

Passo 2

Definição e ideia essencial que vou usar.
  • Definição de logaritmo: \log_{b}(A)=x significa exatamente que b^{x}=A.
    Explicando cada símbolo:
    • b é a base do logaritmo (deve ser b>0 e b\neq1);
    • A é o número cujo logaritmo se quer;
    • x é o resultado que procuramos; ele é o expoente tal que b^{x}=A.
  • Exemplo simples para fixar: \log_{10}(100)=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Propriedade direta que simplifica esse tipo de problema.
  • Se o argumento do logaritmo é uma potência da mesma base, isto é, se temos \log_{b}\!(b^{k}), então o valor é simplesmente o expoente: \log_{b}\!(b^{k})=k.
    Por quê? Porque por definição \log_{b}\!(b^{k})=x implica b^{x}=b^{k}. Como a função exponencial com base b>0, b\neq1, é injetora, segue que x=k.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso problema, passo a passo.
  • Na expressão dada temos exatamente esse caso: a base do logaritmo é 4 e o argumento é 4^{-1/3}.
  • Então, pela propriedade anterior, \log_{4}\!\bigl(4^{-1/3}\bigr) = -\tfrac{1}{3}.

Passo 5

(Uma alternativa — só para ver outra forma, não precisa decorar) Usando mudança de base via potência de 2.
  • Note que 4=2^{2}, logo 4^{-1/3}=(2^{2})^{-1/3}=2^{-2/3}. Também \log_{4}\!(4^{-1/3})=\dfrac{\log_{2}(2^{-2/3})}{\log_{2}(2^{2})}=\dfrac{-2/3}{2}=-\tfrac{1}{3}. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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