Sem usar calculadora, determine
Passo 1
O enunciado pede para calcular sem calculadora a expressão
Informações dadas explícitas:
- As duas expressões são logaritmos de mesma base, base
. - Precisamos obter um número exato como resultado.
Passo 2
Vou usar uma propriedade fundamental dos logaritmos: quando os dois logaritmos têm a mesma base, a diferença deles vira o logaritmo do quociente dos argumentos. Ou seja,
Explicando por que isso vale (passo a passo): suponha
e
. Então, por definição de logaritmo,
Dividindo essas igualdades obtemos
Aplicando logaritmo base
nos dois lados dá
o que demonstra a propriedade. Aqui
é a base do logaritmo (aqui
),
e
são os argumentos (aqui
,
), e
são os valores dos logaritmos.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso:
Passo 4
Agora simplifico a fração
. Dividindo numerador e denominador por
(isso é aritmética básica, nada de calculadora):
Portanto
Passo 5
Reconheço que
é a mesma coisa que
. Uma propriedade importante e simples dos logaritmos é
porque
é justamente o número cuja potência de base
dá
. Aplicando isso aqui com
e
,