Sem usar calculadora, determine
\log _{5}(15)-\log _{5}(75)

Passo 1

O enunciado pede para calcular sem calculadora a expressão
\log_{5}(15)-\log_{5}(75).
Informações dadas explícitas:
  • As duas expressões são logaritmos de mesma base, base 5.
  • Precisamos obter um número exato como resultado.

Passo 2

Vou usar uma propriedade fundamental dos logaritmos: quando os dois logaritmos têm a mesma base, a diferença deles vira o logaritmo do quociente dos argumentos. Ou seja,
\log_{a}(x)-\log_{a}(y)=\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right).
Explicando por que isso vale (passo a passo): suponha \log_{a}(x)=p e \log_{a}(y)=q. Então, por definição de logaritmo,
a^{p}=x\quad\text{e}\quad a^{q}=y.
Dividindo essas igualdades obtemos
\frac{x}{y}=\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}.
Aplicando logaritmo base a nos dois lados dá
\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right)=p-q=\log_{a}(x)-\log_{a}(y),
o que demonstra a propriedade. Aqui a é a base do logaritmo (aqui a=5), x e y são os argumentos (aqui x=15, y=75), e p,q são os valores dos logaritmos.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso:
\log_{5}(15)-\log_{5}(75)=\log_{5}\!\left(\frac{15}{75}\right).

Passo 4

Agora simplifico a fração \dfrac{15}{75}. Dividindo numerador e denominador por 15 (isso é aritmética básica, nada de calculadora):
\frac{15}{75}=\frac{15\div 15}{75\div 15}=\frac{1}{5}.
Portanto
\log_{5}\!\left(\frac{15}{75}\right)=\log_{5}\!\left(\frac{1}{5}\right).

Passo 5

Reconheço que \dfrac{1}{5} é a mesma coisa que 5^{-1}. Uma propriedade importante e simples dos logaritmos é
\log_{a}\!\left(a^{k}\right)=k,
porque a^{k} é justamente o número cuja potência de base a a^{k}. Aplicando isso aqui com a=5 e k=-1,
\log_{5}\!\left(5^{-1}\right)=-1.

Resposta

-1

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