Sem usar calculadora, determine
\log _{1 / 6}(1 / 3)+\log _{1 / 6}(1 / 12)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, sem calculadora, a soma
\log_{1/6}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)+\log_{1/6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right).
Informações dadas: as duas expressões são logaritmos com a mesma base \tfrac{1}{6}. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa soma.

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre logaritmos (sem pular etapas):
  • A definição: \log_a b = c significa, por definição, que
a^{c}=b,
onde a base a é positiva e a\neq1. Aqui a=\tfrac{1}{6} atende a essas condições.
  • Propriedade importante (produto): quando dois logaritmos têm a mesma base, vale
\log_a x + \log_a y = \log_a(xy).
Explicação curta do porquê: escrevendo \log_a x = p e \log_a y = q significa a^{p}=x e a^{q}=y. Multiplicando, xy=a^{p}a^{q}=a^{p+q}. Aplicando logaritmo com base a em ambos os lados dá \log_a(xy)=p+q, ou seja, \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y.

Passo 3

Aplicando a propriedade do passo anterior às duas parcelas com mesma base \tfrac{1}{6}:
\log_{1/6}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)+\log_{1/6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right) = \log_{1/6}\!\left(\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{12}\right).
Faço a multiplicação das frações:
\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{3\cdot12}=\tfrac{1}{36}.
Portanto a soma vira
\log_{1/6}\!\left(\tfrac{1}{36}\right).

Passo 4

Agora resolvo \log_{1/6}\!\left(\tfrac{1}{36}\right) encontrando k tal que
\left(\tfrac{1}{6}\right)^{k}=\tfrac{1}{36}.
Observo que 36=6^{2}, então
\tfrac{1}{36}=\tfrac{1}{6^{2}}=\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}.
Como a função exponencial a^{x} é injetora para a>0 e a\neq1, a igualdade \left(\tfrac{1}{6}\right)^{k}=\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2} implica k=2.

Passo 5

Concluo, com explicação e sem uso de calculadora, que
\log_{1/6}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)+\log_{1/6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right)=2.

Resposta

2

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