Sem usar calculadora, determine
\log _{3}(45)-\log _{3}(5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{3}(45)-\log_{3}(5).
Informações dadas: são logaritmos na base 3; os números envolvidos são 45 e 5.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um logaritmo. A definição é: \log_{b}(a)=c se, e somente se, b^{c}=a.
Isto é, a logaritmagem responde à pergunta “qual expoente eu aplico na base b para obter a?”.
Exemplo simples: \log_{10}(100)=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Apresento uma lei útil dos logaritmos que vamos usar: a diferença de logaritmos de mesma base é o logaritmo do quociente. Em símbolos:
\log_{b}(x)-\log_{b}(y)=\log_{b}\!\left(\frac{x}{y}\right).
Prova curta (didática): seja u=\log_{b}(x) e v=\log_{b}(y). Então x=b^{u} e y=b^{v}. Assim
\frac{x}{y}=\frac{b^{u}}{b^{v}}=b^{u-v}.
Tomando logaritmo na base b de ambos os lados dá
\log_{b}\!\left(\frac{x}{y}\right)=u-v=\log_{b}(x)-\log_{b}(y),
o que demonstra a propriedade.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso problema:
\log_{3}(45)-\log_{3}(5)=\log_{3}\!\left(\frac{45}{5}\right).

Passo 5

Calcule o quociente \dfrac{45}{5}. Sem calculadora: 45\div5=9. Portanto
\log_{3}\!\left(\frac{45}{5}\right)=\log_{3}(9).

Passo 6

Reconheça 9 como potência da base 3: 9=3^{2}. Usando a propriedade \log_{b}(b^{k})=k (porque b^{k}=b^{k}), obtemos
\log_{3}(9)=\log_{3}(3^{2})=2.

Passo 7

Uma observação prática para a prova: ao ver expressões do tipo \log(a)-\log(b) tente simplificar como \log(a/b); muitas vezes a/b vira uma potência simples da base e o resultado sai rapidinho. No mesmo exemplo, outra abordagem é notar 45=9\cdot5 e escrever \log_{3}(45)=\log_{3}(9)+\log_{3}(5), daí o \log_{3}(5) cancela e sobra \log_{3}(9)=2.

Resposta

2

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