Sem usar calculadora, determine
\log _{2}(96)+\log _{2}(1 / 3)

Passo 1

O enunciado pede que se determine, sem usar calculadora, o valor de \log_{2}(96)+\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{3}\right).
Informações dadas: os dois termos são logs na mesma base 2, e os números envolvidos são 96 e \tfrac{1}{3}.

Passo 2

Lembração importante (fórmulas que vou usar). Para qualquer base a>0, a\neq1, e quaisquer x>0, y>0 vale:
\log_{a}(x)+\log_{a}(y)=\log_{a}(x\cdot y).
Além disso, para qualquer número b>0 e todo expoente k vale:
\log_{a}\bigl(b^{k}\bigr)=k\log_{a}(b).
Aqui a é a base do logaritmo (no problema a=2), x e y são os argumentos dos logaritmos, e k é um expoente. Essas fórmulas são consequência da definição de logaritmo e das propriedades das potências — vou usá-las explicitamente.

Passo 3

Aplicando a propriedade da soma de logaritmos, escrevemos a soma como um único logaritmo:
\log_{2}(96)+\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\log_{2}\!\left(96\cdot \tfrac{1}{3}\right).

Passo 4

Agora simplificamos o produto dentro do logaritmo. Calculamos
96\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{96}{3}.
Sem calculadora, note que 3\cdot 32=96, portanto
\tfrac{96}{3}=32.

Passo 5

Substituindo, obtemos
\log_{2}\!\left(96\cdot \tfrac{1}{3}\right)=\log_{2}(32).

Passo 6

Reconhecemos que 32 é potência de 2, pois
32=2^{5}.
Usando a propriedade \log_{a}(a^{k})=k, temos
\log_{2}(32)=\log_{2}\bigl(2^{5}\bigr)=5.

Resposta

5

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