Sem usar uma calculadora, determine
\log _{\sqrt{3}}(3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \log_{\sqrt{3}}(3) sem usar calculadora.
Dados disponíveis: a base do logaritmo é \sqrt{3} e o argumento é 3. O objetivo é encontrar o número real x tal que esse logaritmo seja igual a x.

Passo 2

Vou usar a definição de logaritmo. Se \log_b(a)=x, isso significa, por definição, que
b^x = a.
Aqui, b é a base do logaritmo, a é o argumento, e x é o valor do logaritmo que queremos encontrar.

Passo 3

Aplique a definição ao caso concreto: seja
x=\log_{\sqrt{3}}(3).
Pela definição, isso equivale a
(\sqrt{3})^{x}=3.

Passo 4

Agora use uma propriedade de potências: para qualquer número positivo a e expoentes m,n,
\bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{mn}.
Aqui podemos escrever \sqrt{3} como 3^{1/2}. Substituindo em (\sqrt{3})^{x}=3 obtemos
\bigl(3^{1/2}\bigr)^{x}=3.
Pela propriedade acima,
3^{x/2}=3^{1}.
Como as potências de base 3 são iguais, os expoentes devem ser iguais:
\frac{x}{2}=1.
Resolvendo para x
x=2.

Passo 5

Verificação rápida (pra ficar seguro): (\sqrt{3})^{2}=(3^{1/2})^{2}=3^{1}=3. Isso confirma que \log_{\sqrt{3}}(3)=2.

Resposta

2

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