Sem usar uma calculadora, determine
\log _{8}(2)

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:\n
  • Pede-se o valor de \log_{8}(2) sem usar calculadora.\n
  • Informação dada: a base do logaritmo é 8 e o argumento é 2.

Passo 2

Recordando a definição básica de logaritmo: se \,x=\log_{a}(b)\, então isso significa que
a^{x}=b.
Vamos usar isso aqui. Seja
x=\log_{8}(2).
Pela definição, temos
8^{x}=2.

Passo 3

Reescrever a base 8 como potência de 2. Observa que
8=2^{3}.
Substituindo em 8^{x}=2 obtemos, usando a propriedade de potência da potência (a^{m})^{n}=a^{mn},
(2^{3})^{x}=2.
Logo
2^{3x}=2^{1}.

Passo 4

Igualando expoentes: como a função exponencial com base 2 é injetora (ou seja, 2^{u}=2^{v}\Rightarrow u=v), podemos igualar os expoentes:
3x=1.
Resolvendo para x,
x=\frac{1}{3}.

Passo 5

Comentário didático e exemplo rápido: a ideia usada foi escrever a base do logaritmo como uma potência da mesma base do argumento (aqui ambos em potências de 2). Isso é um truque muito útil. Exemplo similar: \log_{9}(3). Como 9=3^{2}, escrevemos (3^{2})^{x}=3 \Rightarrow 3^{2x}=3^{1}\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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