Sem usar uma calculadora, determine
\log _{3}(\sqrt[4]{3})

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \log_{3}\!\big(\sqrt[4]{3}\big).
Informações dadas:
  • A expressão a avaliar é \log_{3}\!\big(\sqrt[4]{3}\big).
  • \sqrt[4]{3} é a raiz quarta de 3.

Passo 2

Relembrando a definição de logaritmo de forma direta e simples:
Dizemos que \log_{a}(b)=x se, e somente se, \,a^{x}=b.
Ou seja, o logaritmo responde à pergunta “qual expoente aplico na base a para obter b?”.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se \log_{2}(8)=x, então \,2^{x}=8 e como 8=2^{3} segue que x=3.

Passo 3

Converter raízes em potências com expoente fracionário:
Para qualquer número positivo a e inteiro positivo n vale \sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Aplicando isso ao nosso caso:
\sqrt[4]{3}=3^{1/4}.

Passo 4

Aplicar a definição do logaritmo ao caso específico. Seja
x=\log_{3}\!\big(\sqrt[4]{3}\big).
Pelo passo anterior temos \sqrt[4]{3}=3^{1/4}, logo
x=\log_{3}\!\big(3^{1/4}\big).
Pela definição de logaritmo, \log_{3}\!(3^{1/4}) é o número x tal que
3^{x}=3^{1/4}.
Como a função exponencial de base 3 é injetora (dois expoentes iguais dão a mesma potência só se os expoentes forem iguais), disso segue
x=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Interpretação final e checagem intuitiva: o logaritmo pergunta o expoente que transforma 3 em \sqrt[4]{3}. Como \sqrt[4]{3}=3^{1/4}, o expoente é \tfrac{1}{4}. Um exemplo análogo: \log_{5}(\sqrt[3]{5})=\log_{5}(5^{1/3})=1/3.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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