Sem usar uma calculadora, determine
\log _{3}\left(\sqrt[5]{3^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, sem usar calculadora, o valor de
\log_{3}\!\left(\sqrt[5]{3^{3}}\right).
Informações dadas:
  • A base do logaritmo é 3.
  • O argumento do logaritmo é a raiz quinta de 3^{3}, isto é \sqrt[5]{3^{3}}.
    O que se quer: o valor numérico exato de \log_{3}\!\left(\sqrt[5]{3^{3}}\right).

Passo 2

Entender a relação entre radicais e potências. Regra: a raiz n-ésima de uma potência pode ser escrita como potência com expoente fracionário. Mais precisamente, para a>0, inteiros m e n>0,
\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}.
Explicando por que isso é verdade: a potência a^{\frac{m}{n}} é definida de modo que, ao elevarmos essa potência a n, devemos recuperar a^{m}:
\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^{n} = a^{\frac{m}{n}\cdot n} = a^{m}.
Como a n-ésima raiz de a^{m} é justamente o número que ao elevar à potência n a^{m}, segue que \sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}.
Exemplo concreto e simples: \sqrt[3]{8} = 2 e também 8^{1/3}=2; aqui 8=2^{3} e 8^{1/3}=2^{3\cdot(1/3)}=2.

Passo 3

Aplicar a regra ao nosso argumento. Temos \sqrt[5]{3^{3}}. Usando a regra com a=3, m=3, n=5,
\sqrt[5]{3^{3}} = 3^{\frac{3}{5}}.
Isso transforma o radical em uma potência com expoente fracionário, o que facilita usar propriedades de logaritmo.

Passo 4

Lembrar a definição e propriedade fundamental do logaritmo. Definição: para b>0, b\neq1, e a>0,
y=\log_{b}(a)\quad\Longleftrightarrow\quad b^{y}=a.
Propriedade útil: se o argumento do logaritmo é uma potência da própria base, ou seja a=b^{x}, então
\log_{b}(b^{x}) = x,
porque por definição o expoente que faz b elevado a esse número dar b^{x} é justamente x.

Passo 5

Aplicar a propriedade ao nosso caso. Já vimos que
\sqrt[5]{3^{3}} = 3^{\frac{3}{5}}. Então
\log_{3}\!\left(\sqrt[5]{3^{3}}\right) = \log_{3}\!\left(3^{\frac{3}{5}}\right).
Usando \log_{3}\!\left(3^{x}\right)=x, obtemos
\log_{3}\!\left(3^{\frac{3}{5}}\right)=\frac{3}{5}.
Alternativa (mesma ideia, via propriedades de logaritmo): \log_{3}\!\left((3^{3})^{1/5}\right) = \tfrac{1}{5}\log_{3}(3^{3}) = \tfrac{1}{5}\cdot 3\cdot\log_{3}(3) = \tfrac{1}{5}\cdot 3\cdot 1 = \tfrac{3}{5}.

Resposta

\dfrac{3}{5}

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