Usar uma tabela, com as derivadas das funções elementares, para determinar as derivadas da seguinte função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a sua derivada. Foi pedido para usar uma tabela com as derivadas das funções elementares.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A expressão dentro do parênteses é
. - A função externa é uma potência de expoente
. - O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Vamos montar uma tabela curta com regras básicas de derivação (pegue estas fórmulas como ferramentas que serão aplicadas). Em cada linha explico o que significa cada símbolo.
| Função | Derivada |
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Explicações rápidas:
- Na regra
, a variável é a variável independente e é um número real (expoente). Ex.: derivada de é . - Na regra da soma, derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Na regra da constante multiplicando, a constante sai multiplicando a derivada.
- Na regra da cadeia,
é a função externa e é a função interna; significa calcular a derivada de e depois substituir ; em seguida multiplica-se pela derivada de .
Passo 3
Aplicando a ideia da tabela ao nosso caso: a função
é claramente uma composição, com:
- função interna
, - função externa
(aqui usei como variável da função externa).
Pense assim:
. Para derivar uma composição usamos a regra da cadeia:
Agora vamos calcular
e
separadamente, usando a tabela.
Passo 4
Calcular
: como
, pela regra da potência
, temos
Aqui
representa
quando fizer a substituição final.
Passo 5
Calcular
: como
, aplicamos a regra da soma e a regra da potência e da constante:
- derivada de
é (pela regra ), - derivada de
é (porque é constante multiplicando , e derivada de é ).
Somando:
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando as duas peças: lembrando que
e multiplicando por
,
Agora substitua
:
Passo 7
Observações finais e forma alternativa: pode-se deixar a derivada na forma fatorada acima (geralmente mais clara em provas) ou multiplicar o
no fator linear:
portanto uma forma equivalente é