Usar uma tabela, com as derivadas das funções elementares, para determinar as derivadas da seguinte função:
f(x)=\left(x^{4}+13 x\right)^{7}

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=\bigl(x^{4}+13x\bigr)^{7}\; e pede para determinar a sua derivada. Foi pedido para usar uma tabela com as derivadas das funções elementares.
Informações relevantes:
  • A expressão dentro do parênteses é \;x^{4}+13x\;.
  • A função externa é uma potência de expoente 7.
  • O objetivo é encontrar f'(x).

Passo 2

Vamos montar uma tabela curta com regras básicas de derivação (pegue estas fórmulas como ferramentas que serão aplicadas). Em cada linha explico o que significa cada símbolo.
Função Derivada
\;x^{n}\; \;n x^{n-1}\;
\;c\; (constante) \;0\;
\;c\cdot g(x)\; (constante multiplicando) \;c\cdot g'(x)\;
\;g(x)+h(x)\; (soma) \;g'(x)+h'(x)\;
\;g(h(x))\; (composição) \;g'(h(x))\cdot h'(x)\; (regra da cadeia)
Explicações rápidas:
  • Na regra \;x^{n}\mapsto n x^{n-1}\;, a variável x é a variável independente e n é um número real (expoente). Ex.: derivada de \;x^{4} é \;4x^{3}.
  • Na regra da soma, derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Na regra da constante multiplicando, a constante sai multiplicando a derivada.
  • Na regra da cadeia, g é a função externa e h é a função interna; g'(h(x)) significa calcular a derivada de g e depois substituir h(x); em seguida multiplica-se pela derivada de h(x).

Passo 3

Aplicando a ideia da tabela ao nosso caso: a função \;f(x)=\bigl(x^{4}+13x\bigr)^{7}\; é claramente uma composição, com:
  • função interna \;h(x)=x^{4}+13x\;,
  • função externa \;g(u)=u^{7}\; (aqui usei u como variável da função externa).
Pense assim: f(x)=g(h(x)). Para derivar uma composição usamos a regra da cadeia:
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Agora vamos calcular g'(u) e h'(x) separadamente, usando a tabela.

Passo 4

Calcular g'(u): como g(u)=u^{7}, pela regra da potência \;u^{n}\mapsto n u^{n-1}\;, temos
g'(u)=7u^{6}.
Aqui u representa h(x) quando fizer a substituição final.

Passo 5

Calcular h'(x): como h(x)=x^{4}+13x, aplicamos a regra da soma e a regra da potência e da constante:
  • derivada de \;x^{4} é \;4x^{3}\; (pela regra \;x^{n}\mapsto n x^{n-1}\;),
  • derivada de \;13x é \;13\; (porque \;13 é constante multiplicando x, e derivada de x é 1).
Somando:
h'(x)=4x^{3}+13.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando as duas peças: lembrando que g'(h(x))=7\bigl(h(x)\bigr)^{6} e multiplicando por h'(x),
f'(x)=7\bigl(h(x)\bigr)^{6}\cdot\bigl(4x^{3}+13\bigr).
Agora substitua h(x)=x^{4}+13x:
f'(x)=7\bigl(x^{4}+13x\bigr)^{6}\bigl(4x^{3}+13\bigr).

Passo 7

Observações finais e forma alternativa: pode-se deixar a derivada na forma fatorada acima (geralmente mais clara em provas) ou multiplicar o 7 no fator linear:
7\bigl(4x^{3}+13\bigr)=28x^{3}+91,
portanto uma forma equivalente é
f'(x)=\bigl(28x^{3}+91\bigr)\bigl(x^{4}+13x\bigr)^{6}.

Resposta

f'(x)=7\bigl(x^{4}+13x\bigr)^{6}\bigl(4x^{3}+13\bigr)

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