Resolva as inequações dos exercícios 1. a 12.
Passo 1
O enunciado fornece a inequação
As informações relevantes que temos são:
- A expressão a ser analisada é o polinómio quadrático
. - Os coeficientes são
, , . - A pergunta é: encontrar todos os valores de
que satisfazem a desigualdade .
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): para resolver uma inequação quadrática do tipo
normalmente encontramos as raízes da equação associada
e, a partir delas, analisamos onde o polinómio é positivo ou negativo. Uma razão simples para isso: as raízes são os pontos onde o polinómio muda de sinal; entre as raízes o sinal é o oposto do sinal do coeficiente
se houver duas raízes reais distintas. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Calcular o discriminante
da equação quadrática associada usando a fórmula
Substituindo os valores dados:
Como
, a equação tem duas raízes reais e distintas. A raiz quadrada de
é
.
Passo 4
Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para achar as raízes:
Aqui
,
e
. Logo
Isso dá as duas raízes
Passo 5
Fazer a fatoração do polinómio a partir das raízes (verificação útil e didática). Como as raízes são
e
, podemos escrever
É sempre bom verificar multiplicando: expandindo o lado direito obtém-se de volta
, então a fatoração está correta.
Passo 6
Analisar o sinal do polinómio. Observe que o coeficiente principal é
, ou seja, a parábola associada abre para cima. Para uma parábola que abre para cima e tem duas raízes reais, o polinómio é:
- positivo para
à esquerda da menor raiz, - negativo entre as raízes,
- positivo para
à direita da maior raiz.
Podemos confirmar testando um ponto no intervalo central (por exemplo
):
ou seja, entre as raízes o polinómio é negativo, conforme esperado. Então o polinómio é positivo fora do intervalo formado pelas raízes.
Passo 7
Conclusão lógica do raciocínio (a resposta final será dada na seção indicada): a inequação
é satisfeita para valores de
menores que a menor raiz e para valores de
maiores que a maior raiz.