Resolva as inequações dos exercícios 1. a 12.
2 x^{2}-x-10>0

Passo 1

O enunciado fornece a inequação
2x^{2}-x-10>0.
As informações relevantes que temos são:
  • A expressão a ser analisada é o polinómio quadrático 2x^{2}-x-10.
  • Os coeficientes são a=2, b=-1, c=-10.
  • A pergunta é: encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade 2x^{2}-x-10>0.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para resolver uma inequação quadrática do tipo \,ax^{2}+bx+c>0\, normalmente encontramos as raízes da equação associada \,ax^{2}+bx+c=0\, e, a partir delas, analisamos onde o polinómio é positivo ou negativo. Uma razão simples para isso: as raízes são os pontos onde o polinómio muda de sinal; entre as raízes o sinal é o oposto do sinal do coeficiente a se houver duas raízes reais distintas. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Calcular o discriminante \Delta da equação quadrática associada usando a fórmula
\Delta=b^{2}-4ac.
Substituindo os valores dados:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-10)=1+80=81.
Como \Delta=81\ge 0, a equação tem duas raízes reais e distintas. A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{\Delta}=9.

Passo 4

Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para achar as raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Aqui -b=1, 2a=4 e \sqrt{\Delta}=9. Logo
x=\frac{1\pm 9}{4}.
Isso dá as duas raízes
x_{1}=\frac{1-9}{4}=\frac{-8}{4}=-2, \qquad x_{2}=\frac{1+9}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.

Passo 5

Fazer a fatoração do polinómio a partir das raízes (verificação útil e didática). Como as raízes são -2 e \tfrac{5}{2}, podemos escrever
2x^{2}-x-10 = 2\bigl(x+2\bigr)\bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr).
É sempre bom verificar multiplicando: expandindo o lado direito obtém-se de volta 2x^{2}-x-10, então a fatoração está correta.

Passo 6

Analisar o sinal do polinómio. Observe que o coeficiente principal é a=2>0, ou seja, a parábola associada abre para cima. Para uma parábola que abre para cima e tem duas raízes reais, o polinómio é:
  • positivo para x à esquerda da menor raiz,
  • negativo entre as raízes,
  • positivo para x à direita da maior raiz.
Podemos confirmar testando um ponto no intervalo central (por exemplo x=0):
2\cdot 0^{2}-0-10=-10<0,
ou seja, entre as raízes o polinómio é negativo, conforme esperado. Então o polinómio é positivo fora do intervalo formado pelas raízes.

Passo 7

Conclusão lógica do raciocínio (a resposta final será dada na seção indicada): a inequação \,2x^{2}-x-10>0\, é satisfeita para valores de x menores que a menor raiz e para valores de x maiores que a maior raiz.

Resposta

\;(-\infty,-2)\cup\left(\tfrac{5}{2},\infty\right)

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