Usaremos a notação
para indicação funções
e
suas derivadas com respeito a
.
(a) Considere a equação diferencial
Determine uma solução na forma
onde
são coeficientes reais com
.
(a) Considere a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
A gente vai procurar uma solução na forma de uma série de potências:
onde os coeficientes $ a_n $ são números reais e $ a_0 = 1 $. Para isso, vamos usar o conceito de séries de potências e derivadas de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a série para $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $.
A série para $ y(x) $ já está dada:
Agora, vamos derivar termo a termo para encontrar $ y’(x) $:
E derivamos novamente para $ y’’(x) $:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo multiplicando os fatores $ x^{2} $ e $ x $:
Para $ x^{2} y’’ $:
Para $ x y’ $:
Para $ x^{2} y $:
Vamos ajustar o índice da última soma para que todas as séries tenham $ x^{n} $:
Passo 5
Agora, juntamos todas as séries na equação:
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^{n} $ devem somar zero:
Passo 6
Simplificando a equação dos coeficientes:
Daí, temos a relação de recorrência:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial $ a_{0} = 1 $ e encontrar os primeiros coeficientes.
Para $ n = 2 $:
Para $ n = 3 $:
Mas precisamos de $ a_{1} $. Observando a equação dos coeficientes para $ n =1 $:
Como $ a_{-1} $ não está definido, assumimos que $ a_{1} = 0 $.
Então,
Continuando:
Para $ n =4 $:
Para $ n =4 $:
Passo 8
Observando o padrão, vemos que os coeficientes $ a_{n} $ são zero para $ n $ ímpares e seguem:
onde $ (n)!! $ é o fatorial duplo.
Resposta
A solução da equação diferencial na forma de série de potências é:
ou, simplificando,