Usaremos a notação y(x) para indicação funções y: R longrightarrow R e y^prime(x) suas derivadas com respeito a x.
(a) Considere a equação diferencial
x^2 y^prime prime+x y^prime+x^2 y=0
Determine uma solução na forma
y(x)=sumn=0^infty an x^n,
onde an são coeficientes reais com a0=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
x^2 y'' + x y' + x^2 y = 0
A gente vai procurar uma solução na forma de uma série de potências:
y(x) = sumn=0^infty an x^n,
onde os coeficientes $ a_n $ são números reais e $ a_0 = 1 $. Para isso, vamos usar o conceito de séries de potências e derivadas de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série para $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $.
A série para $ y(x) $ já está dada:
y(x)
Agora, vamos derivar termo a termo para encontrar $ y’(x) $:
y'(x)
E derivamos novamente para $ y’’(x) $:
y''(x)

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial original:
y(x)
Substituindo:
y'(x)

Passo 4

Vamos simplificar cada termo multiplicando os fatores $ x^{2} $ e $ x $:
Para $ x^{2} y’’ $:
x^2
Para $ x y’ $:
x
Para $ x^{2} y $:
x^2 y''
Vamos ajustar o índice da última soma para que todas as séries tenham $ x^{n} $:
x^2 sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2 = sumn=2^infty an n (n-1) x^n

Passo 5

Agora, juntamos todas as séries na equação:
sumn=2^infty an n (n-1) x^n + sumn=1^infty an n x^n + sumn=2^infty an-2 x^n = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^{n} $ devem somar zero:
x

Passo 6

Simplificando a equação dos coeficientes:
an [n(n-1) + n] + an-2 = 0 an [n^2 - n + n] + an-2 = 0 an n^2 + an-2 = 0
Daí, temos a relação de recorrência:
an = -an-2n^2

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial $ a_{0} = 1 $ e encontrar os primeiros coeficientes.
Para $ n = 2 $:
a0 = 1
Para $ n = 3 $:
n = 2
Mas precisamos de $ a_{1} $. Observando a equação dos coeficientes para $ n =1 $:
a2 = -a02^2 = -14
Como $ a_{-1} $ não está definido, assumimos que $ a_{1} = 0 $.
Então,
n = 3
Continuando:
Para $ n =4 $:
a3 = -a13^2

Passo 8

Observando o padrão, vemos que os coeficientes $ a_{n} $ são zero para $ n $ ímpares e seguem:
an
onde $ (n)!! $ é o fatorial duplo.

Resposta

A solução da equação diferencial na forma de série de potências é:
y(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k)! x^2k,
ou, simplificando,
y(x) = cos(x)

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