Use coordenadas polares para achar o volume V do sólido delimitado pelo paraboloide z=4-2 x^{2}-2 y^{2} e o plano-xy.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo paraboloide
z = 4 - 2x^{2} - 2y^{2}
e pelo plano-xy ( z=0). O conteúdo aqui é cálculo de volume via integral dupla, usando coordenadas polares. Vamos projetar o sólido no plano-xy, passar para polares e usar o jacobiano r.

Passo 2

Para encontrar a região de projeção R, fazemos z=0:
4 - 2(x^{2}+y^{2}) = 0
Logo x^{2}+y^{2} = 2, isto é, em coordenadas polares r^{2}=2, então
0 \le r \le \sqrt{2},\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iint_{R} z \,dA
e em coordenadas polares z = 4 - 2r^{2} e dA = r\,dr\,d\theta. Assim
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2}} (4 - 2r^{2})\,r \,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{2}} (4r - 2r^{3})\,dr = \left[2r^{2} - \tfrac{1}{2}r^{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \bigl(2\cdot2 - \tfrac{1}{2}\cdot4\bigr) - 0 = 4 - 2 = 2.

Passo 5

Agora a integral em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} 2 \,d\theta = 2\cdot(2\pi) = 4\pi.

Resposta

O volume do sólido é 4\pi.

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