Calcule iiint_{\mathrm{S}} f(x, y, z) d \mathrm{~V} sendo dados:
f(x, y, z)=x e^{y} \operatorname{coz} e S é a caixa \{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq \ln 2, e \left.0 \leq z \leq \frac{\pi}{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral triplo de
f(x,y,z)=x\,e^{y}\cos z
sobre a região cúbica
S = \{(x,y,z)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le \ln 2,\;0\le z\le \tfrac{\pi}{2}\}.
O conteúdo envolvido é a separação de variáveis em integrais múltiplas quando a função se decompõe em produto de fatores que dependem isoladamente de cada variável.

Passo 2

Escrevemos o integral triplo e, por separabilidade, obtemos o produto de três integrais simples:
\iiint_{S}x\,e^{y}\cos z\,dV =\Bigl(\int_{0}^{2}x\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{\ln2}e^{y}\,dy\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\cos z\,dz\Bigr).

Passo 3

Calculamos
\int_{0}^{2}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\tfrac{2^{2}}{2}-0 =2.

Passo 4

Calculamos
\int_{0}^{\ln2}e^{y}\,dy =\bigl[e^{y}\bigr]_{0}^{\ln2} =e^{\ln2}-e^{0} =2-1 =1.

Passo 5

Calculamos
\int_{0}^{\pi/2}\cos z\,dz =\bigl[\sin z\bigr]_{0}^{\pi/2} =\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin(0) =1-0 =1.

Passo 6

Multiplicando os resultados obtidos:
2\;\times\;1\;\times\;1 =2.

Resposta

O valor do integral triplo é 2.

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