Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\boldsymbol{V}(\mathrm{c}) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2+1}.
O conteúdo aqui é teste de séries de termos positivos, em particular o critério da comparação e o critério da comparação no limite.

Passo 2

Observamos que, para n grande,
a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2+1} \sim \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}.
Como a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}
é uma p-série com p=\tfrac{3}{2}>1, ela converge.

Passo 3

Aplicamos o critério da comparação no limite. Seja
b_n = \frac{1}{n^{3/2}}.
Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\sqrt{n}}{n^2+1}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{\,n^2+1\,} =1.
Como 0<L<\infty e \sum b_n converge, a série \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1} é convergente.

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