Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\checkmark^{(\mathrm{e})} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n}
usando o Critério da Comparação ou Critério da Comparação no Limite. Vamos comparar com a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
cuja divergência é bem conhecida.

Passo 2

Para grandes valores de n, sabemos que
\lim_{n\to\infty}\arctan n = \frac{\pi}{2}.
Assim, para n grande, o termo genérico
a_n = \frac{\arctan n}{n}
comporta-se como
\frac{\pi/2}{n}.

Passo 3

Aplicando o Critério da Comparação no Limite, consideramos
b_n = \frac{1}{n}
e calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\arctan n}{n}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\arctan n = \frac{\pi}{2}.
Como 0 < L < \infty e sabemos que
\sum b_n = \sum \frac{1}{n}
é divergente, segue que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n}
diverge pelo Critério da Comparação no Limite com a série harmônica.

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