Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\boldsymbol{V}(\mathrm{k}) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+n^{2}}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n + n^{2}}{n^{3}+1}
usando o critério de comparação ou o critério da comparação no limite. Vamos comparar com a série harmônica \sum 1/n.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{2n + n^{2}}{n^{3}+1} \quad\text{e}\quad b_{n} = \frac{1}{n}.
Para aplicar o critério de comparação no limite, calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{2n + n^{2}}{n^{3}+1}.

Passo 3

Dentro do limite, fatoramos n^{3} no numerador e denominador:
\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{2n^{2}+n^{3}}{n^{3}+1} = \frac{n^{3}\bigl(1 + 2/n\bigr)}{n^{3}\bigl(1 + 1/n^{3}\bigr)} = \frac{1 + 2/n}{1 + 1/n^{3}}.
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L = \lim_{n\to\infty}\frac{1 + 2/n}{1 + 1/n^{3}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1.

Passo 4

Como 0 < L < \infty e sabemos que \sum b_{n} = \sum 1/n diverge (série harmônica), pelo critério da comparação no limite concluímos que
\sum a_{n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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