Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\checkmark^{(\mathrm{i})} \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\left(1 / n^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\Bigl(\frac{1}{n^{2}}\Bigr).
Como todos os termos são positivos, podemos usar o Critério da Comparação Direta (ou, alternativamente, o Critério da Comparação de Limite). Vamos precisar da desigualdade clássica
\sin x < x para x>0
e do fato de que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (pois p=2>1).

Passo 2

Para cada n\ge1 temos 1/n^{2}>0, logo
0<\sin\Bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\Bigr)\;<\;\tfrac{1}{n^{2}}.
Isso mostra uma comparação direta entre \sin(1/n^{2}) e 1/n^{2}.

Passo 3

Sabendo que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente, concluímos pelo Critério da Comparação Direta que
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\Bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\Bigr)
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin\bigl(1/n^{2}\bigr) é convergente.

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