Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar sua natureza (convergente ou divergente) usando o critério da comparação (ou comparação no limite). Vamos usar o fato de que
cresce mais devagar que qualquer potência
, o que nos permite compará-la com uma série
-séria.
Passo 2
Para grandes
, vale a estimativa
pois a função
torna-se crescente e positiva para
suficientemente grande (por exemplo, para
). Logo, existe
tal que, para todo
,
Sabemos que
é uma
-série com
e, portanto, converge.
Passo 3
Como apenas um número finito de termos diferencia as somas de
até
da “cauda” a partir de
, a convergência da cauda garante a convergência da série toda. Pelo critério da comparação, concluímos que
converge.
Resposta
A série é convergente.