Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\boldsymbol{V}(\mathrm{r}) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}\

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{2}}
e pede para determinar sua natureza (convergente ou divergente) usando o critério da comparação (ou comparação no limite). Vamos usar o fato de que \ln(n) cresce mais devagar que qualquer potência n^{\alpha}, o que nos permite compará-la com uma série p-séria.

Passo 2

Para grandes n, vale a estimativa
\ln(n)\le \sqrt{n},
pois a função g(x)=\sqrt{x}-\ln(x) torna-se crescente e positiva para x suficientemente grande (por exemplo, para x\ge4). Logo, existe N tal que, para todo n\ge N,
\frac{\ln(n)}{n^{2}}\le \frac{\sqrt{n}}{n^{2}} = \frac{1}{n^{3/2}}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
é uma p-série com p=\tfrac32>1 e, portanto, converge.

Passo 3

Como apenas um número finito de termos diferencia as somas de n=1 até n=N-1 da “cauda” a partir de n=N, a convergência da cauda garante a convergência da série toda. Pelo critério da comparação, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^{2}}
converge.

Resposta

A série é convergente.

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