Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Usaremos testes de comparação, em particular o Critério da Comparação no Limite, e o fato de que uma série do tipo
(conhecida como série
-série) converge se, e somente se,
.
Passo 2
Definimos
e escolhemos como série comparadora a
-série
A motivação é que, para
grande,
logo
se comporta como
.
Passo 3
Aplicamos o Critério da Comparação no Limite, ou seja, calculamos
Fatorando
dentro da raiz cúbica,
e, fazendo
,
Passo 4
Como a razão limite é uma constante finita e não nula,
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Sabemos que
é uma
-série com
, logo ela diverge. Portanto, pela comparação no limite, a série original também diverge.
Resposta
A série diverge.