Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{5 n^{2}+1}}\

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{5\,n^{2}+1}}
Usaremos testes de comparação, em particular o Critério da Comparação no Limite, e o fato de que uma série do tipo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
(conhecida como série p-série) converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{1}{\sqrt[3]{5\,n^{2}+1}}
e escolhemos como série comparadora a p-série
b_{n} = \frac{1}{n^{2/3}}.
A motivação é que, para n grande,
\sqrt[3]{5\,n^{2}+1}\sim \sqrt[3]{5}\;n^{2/3},
logo a_{n} se comporta como \tfrac{1}{\sqrt[3]{5}\,n^{2/3}}.

Passo 3

Aplicamos o Critério da Comparação no Limite, ou seja, calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt[3]{5\,n^{2}+1}}{1/n^{2/3}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2/3}}{\sqrt[3]{5\,n^{2}+1}}.
Fatorando n^{2/3} dentro da raiz cúbica,
\frac{n^{2/3}}{\sqrt[3]{5\,n^{2}+1}} = \frac{n^{2/3}}{n^{2/3}\,\sqrt[3]{5 + 1/n^{2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5 + 1/n^{2}}},
e, fazendo n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}} \in (0,\infty).

Passo 4

Como a razão limite é uma constante finita e não nula, a_{n} e b_{n} têm o mesmo comportamento de convergência. Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2/3}}
é uma p-série com p = \tfrac{2}{3} < 1, logo ela diverge. Portanto, pela comparação no limite, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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