Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar e ver se ela converge ou não. O enunciado é:
Vamos usar o Critério da Raiz para estudar a convergência dessa série. O Critério da Raiz é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar se uma série infinita converge, analisando o limite da enésima raiz dos termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Raiz. Para uma série da forma
, calculamos:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o critério não é conclusivo.
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos calcular a enésima raiz de
:
Podemos separar a raiz em partes:
Passo 4
Simplificando cada parte:
-
, porque a raiz enésima de é simplesmente 3. - Para a segunda parte:
Então, temos:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Vamos focar no termo
. Podemos reescrever isso como:
Isso porque
.
Passo 6
Portanto:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Comparando
com 1:
Segundo o Critério da Raiz, se
, a série diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Critério da Raiz, já que o limite
.