Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 3^n(nn+1)^n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar e ver se ela converge ou não. O enunciado é:
sumn=1^infty 3^n(nn+1)^n^2
Vamos usar o Critério da Raiz para estudar a convergência dessa série. O Critério da Raiz é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar se uma série infinita converge, analisando o limite da enésima raiz dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Raiz. Para uma série da forma L = limn to infty raiz[n]|an| , calculamos:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o critério não é conclusivo.
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos calcular a enésima raiz de raiz[n]an = raiz[n]3^n(nn+1)^n^2 :
raiz[n]3^n cdot raiz[n](nn+1)^n^2
Podemos separar a raiz em partes:

Passo 4

Simplificando cada parte:
  1. raiz[n](nn+1)^n^2 = (nn+1)^n , porque a raiz enésima de raiz[n]an = 3 cdot (nn+1)^n é simplesmente 3.
  2. Para a segunda parte:
Então, temos:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite quando L = limn to infty 3 cdot (nn+1)^n tende ao infinito:
(1 - 1n+1)^n approx e^-1
Vamos focar no termo . Podemos reescrever isso como:
Isso porque .

Passo 6

Portanto:
L = 3 cdot 1e = 3e
Sabemos que 3e approx 32,718 approx 1,104 , então:

Passo 7

Comparando 1,104 > 1 com 1:
Segundo o Critério da Raiz, se , a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Critério da Raiz, já que o limite .

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