Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty (2 n)!2^n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a série . Queremos descobrir se essa série converge ou diverge usando o Critério da Razão. Esse critério é uma ferramenta que ajuda a gente a analisar a convergência de séries observando o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é L = limn to infty | an+1an | . Agora, para aplicar o Critério da Razão, a gente precisa calcular o limite da razão quando tende ao infinito. Ou seja:

Passo 3

Vamos substituir an+1an = (2(n+1))!2^(n+1)^2 times 2^n^2(2n)! e (2(n+1))! = (2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! na expressão:
an+1an = (2n + 2)(2n + 1)(2n)!2^n^2 + 2n + 1 times 2^n^2(2n)! = (2n + 2)(2n + 1)2^2n + 1
Simplificando o fatorial:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa razão:
(2n + 2)(2n + 1)2^2n + 1 = (2n + 1)(2n + 2)2 times 4^n
Isso porque .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento desse limite quando limn to infty 2n^24^n = 0 tende ao infinito. O numerador é um polinômio de segundo grau ( ), e o denominador cresce exponencialmente ( ). Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios. Então:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, pelo Critério da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Critério da Razão.

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