Use decomposição em frações parciais para calcular:
\int \frac{-3 x^{3}+x^{2}+2 x+3}{x^{4}+x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{-3x^{3}+x^{2}+2x+3}{x^{4}+x^{3}}\,dx
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo é integração de função racional, e vamos precisar fatorar o denominador e expressar a função como soma de termos simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador e propomos a forma parcial:
x^{4}+x^{3}=x^{3}(x+1),
logo supomos que
\frac{-3x^{3}+x^{2}+2x+3}{x^{3}(x+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x^{3}}+\frac{D}{x+1}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^{3}(x+1) e obtemos
-3x^{3}+x^{2}+2x+3 = A\,x^{2}(x+1)+B\,x(x+1)+C\,(x+1)+D\,x^{3}.
Expandindo e agrupando termos:
coeficiente de x^{3}: A+D=-3
coeficiente de x^{2}: A+B=1
coeficiente de x^{1}: B+C=2
termo constante: C=3.
Daí C=3, B=2-3=-1, A=1-(-1)=2, D=-3-2=-5.

Passo 4

Substituindo os coeficientes, a integral vira
\int\Bigl(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}-\frac{5}{x+1}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int\frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|,\quad \int-\frac{1}{x^{2}}\,dx=\frac{1}{x},\quad \int\frac{3}{x^{3}}\,dx=-\frac{3}{2x^{2}},\quad \int-\frac{5}{x+1}\,dx=-5\ln|x+1|.
Somando tudo, obtemos a antiderivada.

Resposta

2\ln\lvert x\rvert+\frac{1}{x}-\frac{3}{2x^{2}}-5\ln\lvert x+1\rvert+C.

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