Use decomposição em frações parciais para calcular:
\int \frac{3 x^{2}-10 x-60}{x^{3}+x^{2}-12 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{3x^{2}-10x-60}{x^{3}+x^{2}-12x}\,dx
O conteúdo é decomposição em frações parciais para integrar função racional. Precisaremos fatorar o denominador e escrever a fração como soma de parcelas simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{3}+x^{2}-12x = x(x^{2}+x-12) = x(x+4)(x-3).
Assim propomos
\frac{3x^{2}-10x-60}{x(x+4)(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+4} + \frac{C}{x-3}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x+4)(x-3) obtemos
3x^{2}-10x-60 = A(x+4)(x-3) + B\,x(x-3) + C\,x(x+4).
Expandindo e comparando coeficientes de x^{2}, x e termo constante gera o sistema
A + B + C = 3,
A - 3B + 4C = -10,
-12A = -60.
Da última equação vem A=5. Substituindo em
B + C = 3 - A = -2 \quad\text{e}\quad -3B + 4C = -10 - A = -15
resulta B=1 e C=-3.

Passo 4

Com A=5, B=1, C=-3 a integral fica
\int \frac{3x^{2}-10x-60}{x(x+4)(x-3)}\,dx = \int\Bigl(\frac{5}{x} + \frac{1}{x+4} - \frac{3}{x-3}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo usando \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a|:
\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln|x|,\quad \int \frac{1}{x+4}\,dx = \ln|x+4|,\quad \int -\frac{3}{x-3}\,dx = -3\ln|x-3|.
Somando os resultados:

Resposta

5\ln|x| + \ln|x+4| - 3\ln|x-3| + C.

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