Use a definição de derivada para encontrar uma expressão para a derivada das funções f(x)=x^{3}, g(x)=x^{2}-2 x e h(x)=\sqrt{x}+x. Encontre o domínio dessas funções e de suas derivadas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição de derivada por limite, as derivadas de f(x)=x^{3}, g(x)=x^{2}-2x e h(x)=\sqrt{x}+x, além de identificar o domínio de cada função e de sua derivada. A definição que vamos usar é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Derivada de f(x)=x^{3}. Aplicando a definição:
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h} =\lim_{h\to0}(3x^{2}+3xh+h^{2}) =3x^{2}.
Domínio de f: todo \mathbb{R}. Como 3x^{2} está definido para todo x\in\mathbb{R}, o domínio de f' também é \mathbb{R}.

Passo 3

Derivada de g(x)=x^{2}-2x. Pela definição:
g'(x) =\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-2(x+h)-(x^{2}-2x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-2x-2h-x^{2}+2x}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h-2) =2x-2.
Domínio de g: \mathbb{R}. O polinômio 2x-2 vale para todo \mathbb{R}, logo o domínio de g' é também \mathbb{R}.

Passo 4

Derivada de h(x)=\sqrt{x}+x. Primeiro, domínio de h é x\ge0. Usando definição:
h'(x) =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}+x+h-(\sqrt{x}+x)}{h} =\lim_{h\to0}\Bigl(\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}+1\Bigr).
Para o termo que envolve raízes, usamos conjugado:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} =\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} =\frac{(x+h)-x}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac1{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
Fazendo h\to0 \tfrac1{2\sqrt{x}}. Logo
h'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}+1,\quad x>0.
Em x=0 o limite do quociente principal diverge, então h' não existe em 0.

Resposta

f'(x)=3x^{2}, domínio de f e f': \mathbb{R}. g'(x)=2x-2, domínio de g e g': \mathbb{R}. h'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}+1, domínio de h: [0,\infty), domínio de h': (0,\infty).

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