Use a definição para determinar a função derivada de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a função derivada usando a definição de derivada. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Deve-se usar a definição (limite do quociente incremental) para obter
. - Não há restrições adicionais no enunciado (assume-se domínio
).
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada num ponto de forma clara e simples. Para uma função
e um ponto
, a derivada de
em
é
quando esse limite existe. Aqui:
-
é o ponto em que queremos a derivada (um número real qualquer); -
é um incremento pequeno (a diferença entre o ponto onde avaliamos a função e ); -
é o quociente incremental, que representa a inclinação média entre e ; - o limite quando
transforma essa inclinação média na inclinação instantânea (a tangente) em .
Também se pode usar a forma equivalente com
:
mas aqui vou usar a forma com
porque facilita a álgebra.
Passo 3
Aplicando a definição à função
. Substituindo
na fórmula:
Agora desenvolvo o numerador passo a passo. Expansão do cubo (usar a identidade
):
Subtraindo
:
Passo 4
Continuo simplificando o quociente incremental:
Fatorando
no numerador:
Como
no quociente (antes de tomar o limite), cancela-se
:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Usando propriedades dos limites (limite de soma é soma dos limites, limite de
e
é
):
Portanto a derivada em um ponto
é
.
Passo 6
Para obter a função derivada, basta trocar o ponto
pela variável
. Assim a função derivada é
Significado prático: em qualquer
, a inclinação da tangente ao gráfico de
é
. Por exemplo, em
a inclinação é
; em
é
.