Use a definição para determinar a função derivada de
f(x)=x^{3} .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3} e pede para determinar a função derivada usando a definição de derivada. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{3}.
  • Deve-se usar a definição (limite do quociente incremental) para obter f'(x).
  • Não há restrições adicionais no enunciado (assume-se domínio \mathbb{R}).

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada num ponto de forma clara e simples. Para uma função f e um ponto a, a derivada de f em a é
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Aqui:
  • a é o ponto em que queremos a derivada (um número real qualquer);
  • h é um incremento pequeno (a diferença entre o ponto onde avaliamos a função e a);
  • \frac{f(a+h)-f(a)}{h} é o quociente incremental, que representa a inclinação média entre a e a+h;
  • o limite quando h\to0 transforma essa inclinação média na inclinação instantânea (a tangente) em a.
Também se pode usar a forma equivalente com x\to a:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
mas aqui vou usar a forma com h porque facilita a álgebra.

Passo 3

Aplicando a definição à função f(x)=x^{3}. Substituindo f na fórmula:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^{3}-a^{3}}{h}.
Agora desenvolvo o numerador passo a passo. Expansão do cubo (usar a identidade (u+v)^{3}=u^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+v^{3}):
(a+h)^{3}=a^{3}+3a^{2}h+3a h^{2}+h^{3}.
Subtraindo a^{3}:
(a+h)^{3}-a^{3}=3a^{2}h+3a h^{2}+h^{3}.

Passo 4

Continuo simplificando o quociente incremental:
\frac{(a+h)^{3}-a^{3}}{h}=\frac{3a^{2}h+3a h^{2}+h^{3}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{h\bigl(3a^{2}+3a h+h^{2}\bigr)}{h}.
Como h\neq0 no quociente (antes de tomar o limite), cancela-se h:
3a^{2}+3a h+h^{2}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(a)=\lim_{h\to0}\bigl(3a^{2}+3a h+h^{2}\bigr).
Usando propriedades dos limites (limite de soma é soma dos limites, limite de h e h^{2} é 0):
f'(a)=3a^{2}+3a\cdot0+0^{2}=3a^{2}.
Portanto a derivada em um ponto a é 3a^{2}.

Passo 6

Para obter a função derivada, basta trocar o ponto a pela variável x. Assim a função derivada é
f'(x)=3x^{2}.
Significado prático: em qualquer x, a inclinação da tangente ao gráfico de f(x)=x^{3} é 3x^{2}. Por exemplo, em x=1 a inclinação é f'(1)=3; em x=2 é f'(2)=12.

Resposta

f'(x)=3x^{2}

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