7.5. Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
.
Solução. Primeiro calculamos o ponto da curva:
Logo, o ponto é
. A derivada é
Então a inclinação da tangente em
é
A equação da reta tangente é
Assim,
e portanto
Solução. Primeiro calculamos o ponto da curva:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função dada:
. - Abscissa do ponto onde queremos a tangente:
. - O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente à curva no ponto cuja abscissa é
.
Informações que vamos precisar (lista do que temos que obter):
- Calcular a ordenada do ponto:
para obter o ponto . - Calcular a inclinação (declive) da tangente:
. - Usar a forma ponto-inclinação da reta para escrever a equação da tangente.
Passo 2
Calcular o ponto da curva correspondente a
. Ou seja, precisamos de
.
Logo o ponto da curva é
.
Passo 3
Entender o papel da derivada: a derivada
de uma função num ponto
representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente à curva naquele ponto. Em palavras simples: se você quer a “inclinação” da tangente em
, calcula
.
Passo 4
Calcular a derivada
. Usamos regras básicas de derivação:
- Regra do poder:
. - Derivada de
(com constante) é .
Aplicando termo a termo em
:
Portanto
Passo 5
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação da tangente:
Então a inclinação (coeficiente angular) é
.
Passo 6
Usar a forma ponto-inclinação da reta tangente. A equação da reta que passa por
com inclinação
é
Substituindo
,
e
:
Isto é,
Isolando
obtém-se a equação da reta tangente (faça a subtração
em ambos os lados para isolar
).
Passo 7
Pequena verificação mental: a inclinação da tangente calculada foi
, e a equação na forma que temos (
) corresponde a uma reta com esse declive que passa pelo ponto
. Isso confirma que o processo está consistente — está tudo correto, você mandou bem em seguir os passos.