7.5. Determine a equação da reta tangente à curva

f(x)=x^{3}-2 x
no ponto de abscissa x=1.
Solução. Primeiro calculamos o ponto da curva:
f(1)=1^{3}-2 \cdot 1=-1
Logo, o ponto é (1,-1). A derivada é
f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2
Então a inclinação da tangente em x=1 é
f^{\prime}(1)=3 \cdot 1^{2}-2=1
A equação da reta tangente é
y-(-1)=1(x-1)
Assim,
y+1=x-1
e portanto
y=x-2 .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: f(x)=x^{3}-2x.
  • Abscissa do ponto onde queremos a tangente: x=1.
  • O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente à curva no ponto cuja abscissa é x=1.
Informações que vamos precisar (lista do que temos que obter):
  • Calcular a ordenada do ponto: f(1) para obter o ponto (x_0,y_0).
  • Calcular a inclinação (declive) da tangente: m=f^{\prime}(1).
  • Usar a forma ponto-inclinação da reta para escrever a equação da tangente.

Passo 2

Calcular o ponto da curva correspondente a x=1. Ou seja, precisamos de y_0=f(1).
f(1)=1^{3}-2\cdot 1=1-2=-1.
Logo o ponto da curva é (x_0,y_0)=(1,-1).

Passo 3

Entender o papel da derivada: a derivada f^{\prime}(x) de uma função num ponto x_0 representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente à curva naquele ponto. Em palavras simples: se você quer a “inclinação” da tangente em x_0, calcula f^{\prime}(x_0).

Passo 4

Calcular a derivada f^{\prime}(x). Usamos regras básicas de derivação:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada de a x (com a constante) é a.
Aplicando termo a termo em f(x)=x^{3}-2x:
\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}(-2x)=-2.
Portanto
f^{\prime}(x)=3x^{2}-2.

Passo 5

Avaliar a derivada em x=1 para obter a inclinação da tangente:
f^{\prime}(1)=3\cdot 1^{2}-2=3-2=1.
Então a inclinação (coeficiente angular) é m=1.

Passo 6

Usar a forma ponto-inclinação da reta tangente. A equação da reta que passa por (x_0,y_0) com inclinação m é
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=-1 e m=1:
y-(-1)=1\cdot (x-1).
Isto é,
y+1=x-1.
Isolando y obtém-se a equação da reta tangente (faça a subtração 1 em ambos os lados para isolar y).

Passo 7

Pequena verificação mental: a inclinação da tangente calculada foi 1, e a equação na forma que temos ( y+1=x-1) corresponde a uma reta com esse declive que passa pelo ponto (1,-1). Isso confirma que o processo está consistente — está tudo correto, você mandou bem em seguir os passos.

Resposta

y=x-2

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