Use a definição de limites (2) da Seção 15 para provar que
\lim _{z \rightarrow 0} \frac{\bar{z}^{2}}{z}=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite para funções complexas, que
\lim_{z\to 0}\frac{\bar{z}^{2}}{z}=0.
O conteúdo envolvido é a definição ε–δ de limite no plano complexo: dizemos que
\lim_{z\to a}f(z)=L
se, para todo ε>0, existe δ>0 tal que, sempre que 0<|z−a|<δ, temos |f(z)−L|<ε.

Passo 2

Aplicamos essa definição com a=0, L=0 e
f(z)=\frac{\bar{z}^{2}}{z},\quad z\neq0.
Precisamos mostrar que, dado ε>0, existe δ>0 de modo que
0<|z|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\left|\frac{\bar{z}^{2}}{z}-0\right|<\varepsilon.

Passo 3

Calculemos o valor absoluto de f(z):
\left|\frac{\bar{z}^{2}}{z}\right| =\frac{|\bar{z}^{2}|}{|z|} =\frac{|\bar{z}|^{2}}{|z|} =\frac{|z|^{2}}{|z|} =|z|.
Aqui usamos que |\bar{z}|=|z| e regras usuais de módulo.

Passo 4

Para fazer \bigl|\bar{z}^{2}/z\bigr|<\varepsilon, basta garantir |z|<\varepsilon. Logo, basta escolher
\delta=\varepsilon.
Então, sempre que 0<|z|<\delta, teremos
\left|\frac{\bar{z}^{2}}{z}\right|=|z|<\delta=\varepsilon,
o que satisfaz a definição de limite.

Resposta

\lim_{z\to 0}\frac{\bar{z}^{2}}{z}=0.

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