Use Derivação Implícita para encontrar y^{\prime} nas seguintes equações:
\frac{x}{\sqrt{y}}-4 y=4

Passo 1

O enunciado dá a relação
\frac{x}{\sqrt{y}} \;-\; 4y \;=\; 4
e pede \,y'=\frac{dy}{dx} por derivação implícita. Vamos usar a regra do produto para diferenciar x\,y^{-1/2} e a regra da cadeia para diferenciar y^{-1/2}.

Passo 2

Reescrevendo em potências de y, temos
\frac{x}{\sqrt{y}} = x\,y^{-\tfrac12},
logo a equação fica
x\,y^{-\tfrac12} \;-\; 4y = 4.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y^{-\tfrac12}\bigr)\;-\;4\,\frac{dy}{dx} \;=\; 0.
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x\,y^{-\tfrac12}) =1\cdot y^{-\tfrac12} + x\cdot\bigl(-\tfrac12\,y^{-\tfrac32}\bigr)\,y'.

Passo 4

Substituindo na derivada completa:
y^{-\tfrac12} \;-\;\frac{x}{2}\,y^{-\tfrac32}\,y' \;-\;4\,y' =0.
Agrupando os termos com y':
y^{-\tfrac12} \;+\;\Bigl(-\tfrac{x}{2y^{\tfrac32}} -4\Bigr)\,y' =0 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(-\tfrac{x}{2y^{\tfrac32}} -4\Bigr)\,y' = -\,y^{-\tfrac12}.

Passo 5

Isolando y':
y' = \frac{-\,y^{-\tfrac12}}{-\bigl(\tfrac{x}{2y^{\tfrac32}}+4\bigr)} = \frac{1/\sqrt{y}}{\tfrac{x}{2y^{\tfrac32}}+4}.
Escrevendo \tfrac{x}{2y^{3/2}}+4=\tfrac{x+8y^{3/2}}{2y^{3/2}}, obtém-se
y' = \frac{1/\sqrt{y}}{\,(x+8y^{\tfrac32})/(2y^{\tfrac32})} = \frac{2y^{\tfrac32}}{\sqrt{y}\,(x+8y^{\tfrac32})} = \frac{2y}{\,x+8\,y^{\tfrac32}\,}.

Resposta

y' = \frac{2y}{\,x + 8\,y^{\tfrac32}\,}.

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