Use a derivação logarítmica para determinar
f(x) = (cos(x))^(e^x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada dela usando derivação logarítmica. Isso significa que vamos usar logaritmos para facilitar a derivação de uma função com uma base e um expoente que também são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso ajuda a “tornar” a expressão mais fácil de derivar, já que a derivada de um logaritmo é mais simples de lidar.

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente ( ), a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembrando que derivado é e precisamos usar a regra do produto para o lado direito.

Passo 5

Aplicando a regra do produto na derivada do lado direito:
Sabemos que e , então substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
E lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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