Dada a funçato
, determine:
Os pontos criticos e classifique-os em maximos e minimos.
Os pontos criticos e classifique-os em maximos e minimos.
Passo 1
Então, a gente tem esse exercício que pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e dizer se esses pontos são máximos ou mínimos. Isso está relacionado a cálculo diferencial, especificamente ao estudo de derivadas para identificar onde a função atinge valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, como a função está variando naquele ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa descobrir onde a derivada é igual a zero ou onde ela não existe. Nesse caso, nossa derivada
é um polinômio e existe para todo valor de
, então vamos resolver
:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada em torno desses pontos. Vamos usar a segunda derivada aqui.
A segunda derivada de
é:
Agora, vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um mínimo.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um máximo.
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um mínimo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Mínimo -
: Máximo -
: Mínimo