Dada a funçato f(x) = x^4 - 2*x^2 + 3, determine:
Os pontos criticos e classifique-os em maximos e minimos.

Passo 1

Então, a gente tem esse exercício que pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e dizer se esses pontos são máximos ou mínimos. Isso está relacionado a cálculo diferencial, especificamente ao estudo de derivadas para identificar onde a função atinge valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, como a função está variando naquele ponto.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa descobrir onde a derivada é igual a zero ou onde ela não existe. Nesse caso, nossa derivada é um polinômio e existe para todo valor de , então vamos resolver :
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada em torno desses pontos. Vamos usar a segunda derivada aqui.
A segunda derivada de é:
Agora, vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um mínimo.
  1. Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um máximo.
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um mínimo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Mínimo
  • : Máximo
  • : Mínimo

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