Use derivação termo a termo de séries conhecidas para representar as seguintes séries de potências:
1(1-x)^3

Passo 1

O enunciado pede representar a função 1(1-x)^3 como série de potências, usando derivação termo a termo de séries conhecidas. Vamos precisar da série geométrica básica e de suas derivadas.

Passo 2

Começamos com a série geométrica:
11-x = sumn=0^infty x^n,
válida para lvert xrvert<1.

Passo 3

Derivando termo a termo,
ddxl(11-xr)=1(1-x)^2,
enquanto
ddxsumn=0^infty x^n =sumn=1^infty n,x^n-1 =summ=0^infty (m+1),x^m
Logo,
1(1-x)^2=sumn=0^infty (n+1),x^n

Passo 4

Derivando novamente termo a termo,
ddxl(1(1-x)^2r) =2(1-x)^3,
e
ddxsumn=0^infty (n+1),x^n =sumn=1^infty n(n+1),x^n-1 =summ=0^infty (m+1)(m+2),x^m
Assim,
2(1-x)^3=sumn=0^infty (n+1)(n+2),x^n Longrightarrow 1(1-x)^3 =sumn=0^infty (n+1)(n+2)2,x^n

Resposta

1(1-x)^3 =sumn=0^infty (n+1)(n+2)2,x^n, |x|<1

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